Математические значки обозначения. Из истории математических символов. Умножение и деление

Когда люди долгое время взаимодействуют в рамках определенной сферы деятельности, они начинают искать способ оптимизировать процесс коммуникации. Система математических знаков и символов представляет собой искусственный язык, который был разработан, чтобы уменьшить объем графически передаваемой информации и при этом полностью сохранить заложенный в сообщение смысл.

Любой язык требует изучения, и язык математики в этом плане - не исключение. Чтобы понимать значение формул, уравнений и графиков, требуется заранее владеть определенной информацией, разбираться в терминах, системе обозначений и т. д. При отсутствии такого знания текст будет восприниматься как написанный на незнакомом иностранном языке.

В соответствии с запросами общества графические символы для более простых математических операций (например, обозначение сложения и вычитания) были выработаны раньше, чем для сложных понятий наподобие интеграла или дифференциала. Чем сложнее понятие, тем более сложным знаком оно обычно обозначается.

Модели образования графических обозначений

На ранних этапах развития цивилизации люди связывали простейшие математические операции с привычными для них понятиями на основе ассоциаций. Например, в Древнем Египте сложение и вычитание обозначались рисунком идущих ног: направленные по направлению чтения строки они обозначали «плюс», а в обратную сторону - «минус».

Цифры, пожалуй, во всех культурах изначально обозначались соответствующим количеством черточек. Позже для записи стали использоваться условные обозначения - это экономило время, а также место на материальных носителях. Часто в качестве символов использовались буквы: такая стратегия получила распространение в греческом, латинском и многих других языках мира.

История возникновения математических символов и знаков знает два наиболее продуктивных способа образования графических элементов.

Преобразование словесного представления

Изначально любое математическое понятие выражается некоторым словом или словосочетанием и не имеет собственного графического представления (помимо лексического). Однако выполнение расчетов и написание формул словами - процедура длительная и занимающая неоправданно много места на материальном носителе.

Распространенный способ создания математических символов - трансформация лексического представления понятия в графический элемент. Иначе говоря, слово, обозначающее понятие, с течением времени сокращается или преобразуется каким-либо другим способом.

Например, основной гипотезой происхождения знака «плюс» является его сокращение от латинского et , аналогом которого в русском языке является союз «и». Постепенно в скорописи первая буква перестала писаться, а t сократилась до креста.

Другой пример - знак «икс», обозначающий неизвестное, который изначально представлял собой сокращение от арабского слова «нечто». Сходным образом произошли знаки для обозначения квадратного корня, процента, интеграла, логарифма и др. В таблице математических символов и знаков можно встретить более десятка графических элементов, появившихся таким образом.

Назначение произвольного символа

Второй распространенный вариант образования математических знаков и символов - назначение символа произвольным образом. В этом случае слово и графическое обозначение между собой не связаны - знак обычно утверждается в результате рекомендации одного из членов научного сообщества.

Например, знаки умножения, деления, равенства были предложены математиками Уильямом Отредом, Иоганном Раном и Робертом Рекордом. В некоторых случаях несколько математических знаков могли быть введены в науку одним ученым. В частности, Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил целый ряд символов, в том числе интеграла, дифференциала, производной.

Простейшие операции

Такие знаки, как «плюс» и «минус», а также символы, обозначающие умножение и деление, знает каждый школьник, несмотря на то, что для последних двух упомянутых операций существует несколько возможных графических знаков.

Можно с уверенностью говорить, что складывать и вычитать люди умели ещё за много тысячелетий до нашей эры, а вот стандартизованные математические знаки и символы, обозначающие данные действия и известные нам сегодня, появились лишь к XIV-XV столетию.

Впрочем, несмотря на установление определенной договоренности в научном сообществе, умножение и в наше время может изображаться тремя различными знаками (диагональный крестик, точка, звёздочка), а деление - двумя (горизонтальная черта с точками сверху и снизу или наклонная черта).

Латинские буквы

На протяжении многих столетий научное сообщество использовало для обмена информацией исключительно латынь, и многие математические термины и знаки обнаруживают свои истоки именно в этом языке. В некоторых случаях графические элементы стали результатом сокращения слов, реже - их намеренного или случайного преобразования (например, вследствие описки).

Обозначение процента («%»), вероятнее всего, происходит от ошибочного написания сокращения cto (cento, т. е. «сотая доля»). Сходным образом произошёл знак «плюс», история которого описана выше.

Гораздо большее было образовано путём намеренного сокращения слова, хотя это не всегда очевидно. Далеко не каждый человек узнает в знаке квадратного корня букву R , т. е. первый знак в слове Radix («корень»). Символ интеграла также представляет собой первую букву слова Summa, однако интуитивно она похожа на прописную f без горизонтальной черты. К слову, в первой публикации издатели совершили именно такую ошибку, напечатав f вместо данного символа.

Греческие буквы

В качестве графических обозначений для различных понятий используются не только латинские, но и В таблице математических символов можно найти целый ряд примеров такого наименования.

Число Пи, представляющее собой отношение длины окружности к её диаметру, произошло от первой буквы греческого слова, обозначающего окружность. Существует ещё несколько менее известных иррациональных чисел, обозначаемых буквами греческого алфавита.

Крайне распространенным знаком в математике является «дельта», отражающая величину изменения значения переменных. Ещё одним употребительным знаком является «сигма», выполняющая функцию знака суммы.

Более того, практически все греческие буквы так или иначе используются в математике. Однако данные математические знаки и символы и их значение знают только люди, занимающиеся наукой профессионально. В быту и повседневной жизни эти знания человеку не требуются.

Знаки логики

Как ни странно, многие интуитивно понятные символы были придуманы совсем недавно.

В частности, горизонтальная стрелка, заменяющая слово «следовательно», была предложена лишь в 1922 года Кванторы существования и всеобщности, т. е. знаки, читающиеся как: «существует…» и «для любого…», были введены в 1897 и 1935 году соответственно.

Символы из области теории множеств были придуманы в 1888-1889 гг. А перечеркнутый круг, который сегодня известен любому учащемуся средней школы как знак пустого множества, появился в 1939 году.

Таким образом, знаки для столь непростых понятий, как интеграл или логарифм, были придуманы на столетия раньше, чем некоторые интуитивно понятные символы, легко воспринимаемые и усваиваемые даже без предварительной подготовки.

Математические символы на английском

Ввиду того, что значительная часть понятий была описана в научных трудах на латыни, ряд названий математических знаков и символов на английском и русском языке одинаковы. Например: Plus («плюс»), Integral («интеграл»), Delta function («дельта-функция»), Perpendicular («перпендикулярный»), Parallel («параллельный»), Null («нуль»).

Часть понятий в двух языках называются различным образом: так, деление - это Division, умножение - Multiplication. В редких случаях английское название для математического знака получает некоторое распространение в русском языке: например, косая черта в последние годы нередко именуется «слешем» (англ. Slash).

Таблица символов

Самый простой и удобный способ ознакомиться с перечнем математических знаков - посмотреть специальную таблицу, в которой содержатся знаки операций, символы математической логики, теории множеств, геометрии, комбинаторики, математического анализа, линейной алгебры. В данной таблице представлены основные математические знаки на английском языке.

Математические знаки в текстовом редакторе

При выполнении различного рода работ зачастую требуется использовать формулы, где употребляются знаки, отсутствующие на клавиатуре компьютера.

Как и графические элементы из практически любой области знаний, математические знаки и символы в «Ворде» можно найти во вкладке «Вставка». В версиях программы 2003 или 2007 года существует опция «Вставка символа»: при нажатии на кнопку в правой части панели пользователь увидит таблицу, в которой представлены все необходимые математические знаки, греческие строчные и прописные буквы, различные виды скобок и многое другое.

В версиях программы, вышедших после 2010 года, разработана более удобная опция. При нажатии на кнопку «Формула» происходит переход в конструктор формул, где предусмотрено использование дробей, занесения данных под корень, смена регистра (для обозначения степеней или порядковых номеров переменных). Здесь же могут быть найдены все знаки из таблицы, представленной выше.

Стоит ли учить математические символы

Система математических обозначений представляет собой искусственный язык, который лишь упрощает процесс записи, но не может принести понимание предмета стороннему наблюдателю. Таким образом, запоминание знаков без изучения терминов, правил, логических связей между понятиями не приведет к овладению данной областью знаний.

Человеческий мозг легко усваивает знаки, буквы и сокращения - математические обозначения запоминаются сами при изучении предмета. Понимание смысла каждого конкретного действия создает настолько прочные что знаки, обозначающие термины, а зачастую и формулы, связанные с ними, остаются в памяти на многие годы и даже десятилетия.

В заключение

Поскольку любой язык, в том числе искусственный, является открытым к изменениям и дополнениям, число математических знаков и символов непременно будет расти с течением времени. Не исключено, что какие-то элементы будут заменены или скорректированы, а другие - стандартизованы в единственно возможном виде, что актуально, например, для знаков умножения или деления.

Умение пользоваться математическими символами на уровне полного школьного курса является в современном мире практически необходимым. В условиях бурного развития информационных технологий и науки, повсеместной алгоритмизации и автоматизации владение математическим аппаратом следует воспринимать как данность, а освоение математических символов - как неотъемлемую его часть.

Поскольку расчеты используются и в гуманитарной сфере, и в экономике, и в естественных науках, и, разумеется, в области техники и высоких технологий, понимание математических понятий и знание символов станет полезным для любого специалиста.

Продолжение первой части: Оккультные и мистические символы и их значение . Геометрические символы, Универсальные символы-образы и символы-понятия. Эмблемы современных религий. Кресты: самые распространенные формы. Образы времени. Символика царства растений и животных. Мифические существа.

Энциклопедия символов

Свастика прямая (левосторонняя)

Свастика как солнечный символ

Прямая (левосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми влево. Вращение считается происходящим по часовой стрелке (в определении направления движения мнения иногда расходятся).

Прямая свастика – символ благословения, доброго предзнаменования, благополучия, удачи и отвращения беды, а также символ плодородия, долгожительства, здоровья и жизни. Это также символ мужского начала, духовности, тормозящей поток низших (физических) сил и позволяющей проявляться энергиям высшей, божественной природы.

Свастика обратная (правосторонняя)

Свастика на нацистской военной медали

Обратная (правосторонняя) свастика – это крест с концами, загнутыми вправо. Вращение считается происходящим против часовой стрелки.

Обратная свастика связывается обычно с женским началом. Иногда она ассоциируется с запуском негативных (физических) энергий, закрывающих проход возвышенным силам духа.

Шумерская свастика, образованная четырьмя женщинами и их волосами, символизирует женскую порождающую силу

Пентаграмма (пентакль): общее значение символа

Знак пентаграммы

Пентаграмма, написанная одной линией, – самый древний из всех символов, которыми мы владеем. Имела разные толкования в разные исторические времена человечества. Она стала шумерским и египетским знаком звезд.

Более поздняя символика: пять чувств; мужское и женское начала, выраженные пятью точками; гармония, здоровье и мистические силы. Пентаграмма также символ победы духовного над материальным, символ безопасности, охранения, благополучного возвращения домой.

Пентаграмма как магический символ

Пентаграммы Белого и Черного магов

Пентакль с одним концом вверх и двумя вниз является знаком белой магии, известным как «нога друида»; с одним концом вниз и двумя вверх он представляет так называемое «копыто козла» и рога дьявола – характерное для символики изменение знака с позитивного на негативный при его переворачивании.

Пентаграмма Белого мага – символ магического воздействия и господства дисциплинированной Воли над явлениями мира. Воля Черного мага направлена к разрушению, к отказу от выполнения духовной задачи, поэтому перевернутая пентаграмма рассматривается как символ зла.

Пентаграмма как символ совершенного человека

Пентаграмма, символизирующая совершенного человека

Пентаграмма, пятиконечная звезда, – символ совершенного человека, стоящего на двух ногах с разведенными руками. Можно сказать, что человек – живая пентаграмма. Это верно как в физическом, так и в духовном плане – человек обладает пятью добродетелями и проявляет их: любовь, мудрость, истина, справедливость и доброта.

Истина принадлежит духу, любовь – душе, мудрость – интеллекту, доброта – сердцу, справедливость – воле.

Двойная пентаграмма

Двойная пентаграмма (человек и Вселенная)

Существует также соответствие между человеческим организмом и пятью элементами (земля, вода, воздух, огонь и эфир): воля соответствует земле, сердце – воде, интеллект – воздуху, душа – огню, дух – эфиру. Таким образом, своей волей, интеллектом, сердцем, душой, духом человек связан с пятью элементами, работающими в космосе, и он может сознательно работать в гармонии с ними. Именно в этом смысл символа двойной пентаграммы, в которой малая вписана в большую: человек (микрокосм) живет и действует внутри Вселенной (макрокосма).

Гексаграмма

Изображение гексаграммы

Гексаграмма – фигура, составленная двумя полярными треугольниками, шестиконечная звезда. Это сложная и цельная симметричная форма, в которой шесть маленьких отдельных треугольников группируются вокруг большого центрального шестиугольника. В результате образуется звезда, хотя первоначальные треугольники сохраняют свою индивидуальность. Поскольку обращенный вверх треугольник – небесный символ, а обращенный вниз – символ земной, то вместе они – символ человека, объединяющего эти два мира. Это символ совершенного брака, который связывает мужчину и женщину.

Печать Соломона

Печать Соломона, или звезда Давида

Это знаменитая магическая печать Соломона, или звезда Давида. Верхний треугольник в ее изображении – белый, а нижний – черный. Она символизирует, в первую очередь, абсолютный закон аналогии, выражаемый мистической формулой: «То, что внизу, подобно тому, что вверху».

Печать Соломона – это также символ эволюции человека: надо научиться не только брать, но и давать, поглощать и излучать одновременно, излучать – для Земли, воспринимать – от Неба. Мы получаем и наполняемся, только когда отдаем другим. Это совершенный союз духа и материи в человеке – союз солнечного сплетения и мозга.

Пятиконечная звезда

Пятиконечная звезда

Вифлеемская звезда

Пятиконечная звезда толкуется по-разному, в том числе она символизирует радость и счастье. Это также эмблема семитской богини Иштар в ее воинственном воплощении, а кроме того, Вифлеемская звезда. У масонов пятиконечная звезда символизирует мистический центр.

Египтяне придавали огромное значение пяти– и шестиконечным звездам, как явствует из текста, сохранившегося на стене погребального храма Хатшепсут.

Семиконечная звезда

Семиконечная звезда магов

В семиконечной звезде повторяются характерные черты пятиконечной. Семь лучей имеет гностическая звезда.

Семи– и девятиконечные звезды, начерченные одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.

Звезда магов читается двояко: последовательно по ходу лучей (по линии начертания звезды) и по окружности. По ходу лучей расположены планеты, управляющие днями недели: Солнце – воскресенье, Луна – понедельник, Марс – вторник, Меркурий – среда, Юпитер – четверг, Венера – пятница, Сатурн – суббота.

Девятиконечная звезда

Девятиконечная звезда магов

Девятиконечные звезды, как и семиконечные, если они начерчены одной линией, – мистические звезды в астрологии и магии.

Девятиконечная звезда, составленная из трех треугольников, символизирует Святой Дух.

Монада

Четыре составные части монады

Это магический символ, названный монадой Джоном Ди (1527–1608), советником и астрологом английской королевы Елизаветы I.

Ди представляет природу магических символов в терминах геометрии и проверяет монаду в ряде теорем.

Ди проводит исследование монады на таком глубоком уровне, что находит связи своей теории с пифагорейской гармонией, библейским знанием и математическими пропорциями.

Спираль

Спиральная структура Млечного Пути

Спиральные формы встречаются в природе очень часто, начиная от спиральных галактик и до водоворотов и смерчей, от раковин моллюсков до рисунков на человеческих пальцах, и даже молекула ДНК имеет форму двойной спирали.

Спираль – весьма сложный и многозначный символ. Но прежде всего – это символ великой созидательной (жизненной) силы как на уровне космоса, так и на уровне микрокосма. Спираль является символом времени, циклических ритмов, смены сезонов года, рождения и смерти, фаз «старения» и «роста» Луны, а также самого Солнца.

Древо Жизни

Древо Жизни в человеческом существе

Древо Жизни

Древо Жизни не принадлежит ни одной культуре – даже египтянам. Оно вне рас и религий. Этот образ является неотъемлемой частью природы… Сам человек представляет собой миниатюрное Древо Жизни. Он обладал бессмертием, когда был связан с этим деревом. О Древе Жизни можно размышлять как об артериях большого космического тела. По этим артериям, как по каналам, текут живительные силы космоса, которые питают все формы существования, и в них бьется космический пульс жизни. Древо Жизни является отдельной секцией, частью схемы универсального кода жизни.

Сфера

Армиллярная сфера (гравюра из книги Тихо Браге)

Символ плодородия (как и круг), а также целостности. В Древней Греции знаком сферы был крест в круге – древняя эмблема власти. Сфера, составленная из нескольких металлических колец, иллюстрирующая космогоническую теорию Птолемея, который полагал, что Земля находится в центре Вселенной, – старинная эмблема астрономии.

Платоновы тела

Платоновы тела, вписанные в сферу

Платоновы тела – пять уникальных форм. Задолго до Платона ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами. Древние алхимики и такие великие умы, как Пифагор, считали, что эти тела связаны с определенными элементами: куб (А) – земля, тетраэдр (В) – огонь, октаэдр (С) – воздух, икосаэдр (D) – вода, додекаэдр (E)– эфир, а сфера – пустота. Эти шесть элементов являются строительными блоками Вселенной. Они создают качества Вселенной.

Символы планет

Символы планет

Планеты изображаются комбинацией простейших геометрических символов. Это круг, крест, дуга.

Рассмотрим, например, символ Венеры. Круг расположен над крестом, что олицетворяет некое «спиритуальное притяжение», которое тянет крест вверх, в принадлежащие кругу возвышенные области. Крест, подчиненный законам зарождения, увядания и смерти, обретет свое искупление, если будет вознесен внутрь этого великого круга духовности. Символ в целом представляет женское начало в мире, которое пытается одухотворить и защитить сферу материального.

Пирамида

Великие пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина

Пирамида – символ иерархии, существующей во Вселенной. В любой области символ пирамиды может помочь перейти от низшего плана множественности и раздробленности к высшему плану единства.

Считается, что посвященные избрали форму пирамиды для своих святилищ потому, что хотели, чтобы сходящиеся к вершине, устремляющиеся к Солнцу линии преподали человечеству урок единства.

Звездный тетраэдр

Звездный тетраэдр

Звездный тетраэдр – фигура, состоящая из двух взаимопересекающихся тетраэдров. Эту фигуру можно также воспринимать как трехмерную звезду Давида.

Тетраэдры проявляются как два противоположных закона: закон духа (излучение, отдача, самоотверженность, бескорыстие) и закон материи (втягивание внутрь, охлаждение, застывание, паралич). Только человек может сознательно совмещать эти два закона, так как он – связующее звено между миром духа и миром материи.

Таким образом, звездный тетраэдр представляет собой два полюса творения в полном равновесии.

Универсальные символы-образы

Вещь справедлива не потому, что этого хочет Бог, но Бог именно потому ее желает, что она справедлива.

Символы-образы – зачастую предметы (вещи) или графические изображения, имитирующие форму того существа или предмета, с которым они связаны. Их значения временами неожиданны, но чаще очевидны, так как основаны на некоем качестве, которое этим предметам или существам изначально присуще: лев – храбрость, скала – стойкость и т. п.

Арка, дуга

Жертвоприношение астральному божеству (из аравийской рукописи XIII века)

Арка (дуга), в первую очередь, – символ небесного свода, бога Неба. В обрядах инициации прохождение через арку означает новое рождение после полного отказа от своей старой природы. В Древнем Риме через триумфальную арку проходила армия после победы над врагом.

Арка и дуга – распространенные элементы в культуре ислама. Часто мечети имеют арочные входы. Считается, человек, входящий в мечеть через арочную дверь, будет защищен символическими силами духовной (высшей) сферы.

Ба-гуа

Ба-гуа и Великая монада (обаяние против злых сил, Китай)

Ба-гуа (в некоторых источниках па-куа) – восемь триграмм и пар противоположностей, обычно расположенных в виде круга, что символизирует время и пространство.

Весы

Весы перевешивающие. Легкое уступает. Тяжелое перетягивает

Весы символизируют справедливость, беспристрастие, суд, оценку достоинств и недостатков человека. Символ равновесия всех противоположностей и дополняющих друг друга факторов. Атрибут Немезиды – богини судьбы.

Диск

Солнечный крылатый диск (Египет)

Диск – многоплановый символ: символ творения, центр Пустоты, Солнце, Небеса, божество, духовное и небесное совершенство. Диск восходящего Солнца – символ обновления жизни, жизни после смерти, воскресения. Диск Солнца с рогатой Луной или с рожками означает соединение солярных и лунных божеств, единство двоих в одном.

Крылатый диск – солярное божество, огонь Небес, комбинация солнечного диска и крыльев сокола или орла, движение небесной сферы вокруг оси, преображение, бессмертие, производящая сила природы и ее двойственность (защищающий и смертоносный аспекты).

Жезл, посох, скипетр

Посох с крюком и цеп Тутанхамона

Жезл, посох и скипетр – древние эмблемы сверхъестественной силы.

Жезл – символ превращения, связанный с колдовством и таинственными существами. Посох – символ мужской силы и власти, часто связан с энергией деревьев, фаллосом, змеей, рукой (указующим перстом). Это также атрибут паломников и святых, но может означать и знание, которое является единственной опорой человека. Скипетр более богато украшен и ассоциируется с высшими божествами и правителями, с духовной властью и в то же время сострадательной мудростью.

Зеркало

Сцена гадания, изображенная на обороте бронзового зеркала (Греция)

Символизирует истину, самореализацию, мудрость, разум, душу, отражение сверхъестественного и божественного интеллекта, отображенного в Солнце, Луне и звездах, ясно сияющую поверхность божественной истины.

Считается, что зеркало имеет магические свойства и является входом в зазеркальный мир. Если зеркало висит отражающей поверхностью вниз в храме или над гробницей, оно открывает путь для восхождения души. В магии зеркала служат для развития взгляда.

Змея Оуробор (Ороборо, Уроборос)

Змея, кусающая свой хвост

Кольцеобразная фигура, изображающая змею, кусающую свой собственный хвост, – символ вечности, неделимости, цикличности времени, алхимии. Символика этой фигуры интерпретируется по-разному, так как она комбинирует созидательный символизм яйца (пространство внутри фигуры), земную символику змеи и небесную символику круга. Кроме того, змея, кусающая свой хвост, – символ закона кармы, колеса сансары – колеса Воплощения.

Кадуцей

Кадуцей

Кадуцей (греч. – «посох вестника») часто называют жезлом Гермеса (Меркурия), древнего бога мудрости. Это «волшебная» палочка с маленькими крыльями, которую обвивают две змеи, переплетенные так, что тела змей образуют две окружности вокруг жезла, символизируя слияние двух полярностей: добра – зла, правого – левого, света – тьмы и т. д., что соответствует природе мира сотворенного.

Кадуцей носят все посланники как знак мира и защиты, и он является главным их атрибутом.

Ключ

Святой Петр с ключами от ворот рая (деталь каменного изображения, Нотр-Дам, Париж, XII век)

Ключ – очень мощный символ. Это власть, сила выбора, вдох, свобода действия, знание, инициация. Перекрещенные золотой и серебряный ключи – эмблема папской власти, символические «ключи от Царствия Небесного», которые Христос передал апостолу Петру. Хотя ключи могут как запирать, так и отпирать двери, они почти всегда являются символами доступа, освобождения и (в обрядах посвящения) инициации, последовательного продвижения от одной стадии жизни к другой. В Японии ключи от хранилища риса – символ процветания.

Колесо

Колесо закона

Колесо существования (сансара)

Колесо – символ солнечной энергии. Солнце – центр, спицы колеса – лучи. Колесо – атрибут всех солнечных богов и земных правителей. Оно символизирует также жизненный цикл, перерождение и обновление, благородство, изменчивость и изменения в материальном мире (окружность – предел материального мира, а центр – «неподвижный двигатель», космический источник света и силы).

Вращающееся колесо связано с циклами проявлений (рождения, смерти и возрождения) и судьбой человека.

На обыденном уровне колесо Госпожи Удачи (колесо фортуны) – символ взлетов, падений и непредсказуемости судьбы.

Колесница

Античный герой на колеснице, символизирующей его готовность к битве

Динамичный символ власти, могущества и быстроты передвижения богов, героев или аллегорических фигур. Колесница также – символ человеческой сущности: возничий (сознание), используя вожжи (силу воли и разум), управляет лошадьми (жизненными силами), везущими повозку (тело).

Колесница (по-еврейски – Меркаба) есть также символ цепи нисхождения от Бога через человека в мир явлений и затем триумфального восхождения духа. Слово «Меркаба» означает и тело света человека.

Котел, чаша

Ритуальный котел (Китай, 800 год до н. э.)

Карл Юнг рассматривает чашу как женский символ, который принимает и отдает. С другой стороны, чаша может быть символом тяжелой судьбы («горькая чаша»). Так называемая отравленная чаша обещает надежду, но приносит беду.

Котел – более мощный символ и часто связан с ритуальными действиями и магией, олицетворяя трансформирующую силу. Котел также – символ изобилия, неистощимый источник поддержания жизни, сил оживления, репродуктивные силы земли, возрождение воинов для новой битвы.

Кровь

Деталь картины Фей Померанес «Шестой дворец Преисподней»: из бокала, напоминающего формой анкх, вытекают последние капли крови – символа жизни

Ритуальный символ жизненной силы. Во многих культурах считается, что кровь содержит часть божественной энергии или, в более общем смысле, дух личности.

Кровь – красная солярная энергия. Олицетворяет принцип жизни, душу, силу, в том числе омолаживающую. Выпить чьей-либо крови – значит породниться, но так же можно вобрать в себя силу врага и тем самым обезопасить его после смерти. Смешение крови – символ союза в народных обычаях (например, братство по крови) или соглашения между людьми, а также между человеком и Богом.

Лабиринт

План средневекового танца-лабиринта на мраморном полу собора в Шартре (Франция)

Лабиринт символизирует мир, Вселенную, непостижимость, движение, сложную проблему, заколдованное место. Это символ таинственности, загадочности, имеющий множество различных толкований, часто противоречивых, иногда пугающих.

Изображения лабиринта на домах считаются амулетом для защиты от враждебных сил и злых духов.

Захоронения, погребальные пещеры и могильные курганы в форме лабиринта защищают мертвых и не позволяют им возвращаться обратно.

Лотос

Вишну и Лакшми, наблюдающие за творением: Брахма вырастает из цветка лотоса, берущего начало из пупка Вишну

Удивительное почитание лотоса в различных культурах объясняется как необыкновенной красотой цветка, так и аналогией между ним и идеализированной формой вульвы как божественного источника жизни. Поэтому лотос, в первую очередь, – символ плодовитости, рождения и возрождения. Лотос – источник космической жизни, символ богов, создавших мир, а также богов солнца. Лотос символизирует прошлое, настоящее и будущее, поскольку каждое растение имеет бутоны, цветы и семена одновременно. Это символ человека благородного, выросшего из грязи, но не запачканного ею.

Луна

Вверху – растущая Луна и полнолуние; внизу – убывающая Луна и новолуние

Луна – владычица женского начала. Она символизирует изобилие, циклическое обновление, возрождение, бессмертие, оккультную силу, изменчивость, интуицию и эмоции. Древние измеряли по циклам Луны время; определяли сроки наступления приливов и отливов; предсказывали, каким будет будущий урожай.

Хотя обычно символизм Луны носит позитивный характер, в некоторых культурах ее представляют в виде дурного глаза, наблюдающего за происходящим, ассоциируют со смертью и зловещей ночной темнотой.

Магический круг

Доктор Иоганн Фауст и Мефистофель (из книги Кристофера Мардлоуэ «Трагическая история доктора Фауста», 1631 год)

Магический круг – основа церемониальной магии. Он служит символом воли мага и одновременно охранительным барьером, защищающим мага от негативного влияния невидимого мира. В таком круге выполняются все магические операции. Для разных целей используются разные круги. Начертание круга – это определенный магический ритуал, который должен быть выполнен по всем установленным правилам. Кроме того, считается, что начертание магических кругов и надписей способствует развитию самообладания и походки.

Мандала

Круг и квадрат мандалы олицетворяют сферическую форму Небес и прямоугольную форму Земли. Вместе они символизируют порядок вещей в космосе и в мире людей

Это геометрическая композиция, символизирующая духовный, космический или психический порядок. На санскрите «мандала» означает «круг». Даже когда в основе этой геометрической композиции лежат квадраты или треугольники, она все равно имеет концентрическую структуру. Общее значение композиции остается неизменным и символизирует путеводный разум, сверхъестественные структуры, ясность просветления.

Мандорла, или Vesica Piscis (окружает все тело персоналии)

Мандорла, или Vesica Piscis

Изображение миндалевидного ореола (сияния), которое использовали в средневековом христианском искусстве, чтобы выделить фигуру возносящегося в небо Христа, а иногда и возносящихся святых.

В мистике «миндаль» (по-итальянски -mandorla) – символ чистоты и целомудрия. Мандорла вследствие своей овальной формы была в древности символом вульвы. Это также графическое изображение пламени, символ духовности. С другой стороны, она символизирует дуалистическое единство Неба и Земли, изображаемых как две пересекающиеся дуги.

Гало

Гало Будды

Разновидность ореола: светящийся круг, окружающий голову человека. Золотое гало символизирует святость личности или подтверждает тот факт, что человек напрямую общается с высшим планом.

Образ гало заимствован из магического символизма египтян, о чем свидетельствуют изображения из древней египетской «Книги Мертвых».

Нимб

Нимбы и гало, окружающие головы святых, символизируют исходящий от них Свет Божий

Нимб – разновидность ореола: светящееся кольцо вокруг головы. Он символизирует духовную силу, в отличие от светской власти, представленной короной. Иногда нимб употребляется в качестве атрибута птицы Феникс как символ солярной силы и бессмертия.

Нимб может быть голубым, желтым или радужным. В греческой мифологии голубой нимб – атрибут Зевса как бога Неба. У римлян голубой нимб – атрибут Аполлона и Юпитера. Треугольный нимб или нимб в форме ромба означает Бога-Отца.

Меч

Инкрустированные мечи, найденные Шлиманом в Микенах (Афины, Национальный музей)

Меч – один из наиболее сложных и наиболее распространенных символов. С одной стороны, меч – грозное оружие, несущее жизнь или смерть, с другой – древнейшая и могущественная сила, которая возникла одновременно с Космическим Равновесием и явилась его противоположностью. Меч также – мощный магический символ, эмблема колдовского ремесла. Кроме того, меч – символ власти, правосудия, высшей справедливости, всепроникающего разума, проницательности, фаллической силы, света. Дамоклов меч – символ рока. Сломанный меч – поражение.

Перо птицы

Ацтекский головной убор из перьев (рисунок из Кодекса Мендосы)

Птичье перо символизирует истину, легкость, Небеса, высоту, скорость, простор, душу, элемент ветра и воздуха, противопоставленный принципу влажности, сухость, путешествия за пределами материального мира. В более широком смысле перья, которые носили шаманы, жрецы или правители, символизировали магическую связь с миром духов или божественную власть и покровительство. Носить перья или оперенные прически – значит, принять в себя силу птицы. Два пера символизируют свет и воздух, два полюса, воскресение. Белое перо символизирует облака, морскую пену и трусость.

Рога

Изображение персидского царя сасанидского периода

Рога символизируют сверхъестественную силу, божество, силу души или жизненный принцип, возникающий из головы. Рога – одновременно солярный и лунный символ. Будучи острыми и колющими, рога являются символом фаллическим и мужественным; будучи полыми, они означают женственность и восприимчивость. Рогатые боги символизируют воинов, плодовитость как для людей, так и для животных. Рога с длинной ленточкой, спадающей с них, означают бога бури. В более поздние времена рога стали символом позора, презрения, порочности и обманутого мужа.

Рука

«Рука Фатимы» (мусульманская резная подвеска)

Власть (мирская и духовная), действие, сила, господство, защита – вот основная символика, которая отражает важную роль руки в жизни человека и веру в то, что она способна передавать духовную и физическую энергию.

Считается, что руки королей, религиозных лидеров и чудотворцев имеют целебную силу; отсюда наложение рук в религиозном благословении, при конфирмации и посвящении в сан. Благословляют правой рукой, левой – проклинают. В исламе раскрытая ладонь Фатимы, дочери Мухаммеда, символизирует пять основ: веру, молитву, паломничество, пост, милосердие.

Солнце

Варианты изображения диска Солнца

Солнце – один из двенадцати символов власти, основной символ созидательной энергии.

В качестве источника тепла Солнце представляет собой жизненную силу, страсть, храбрость и вечную молодость. Как источник света оно символизирует знания, интеллект. В большинстве традиций Солнце – символ мужского начала. Солнце также – это жизнь, живучесть, воплощенный характер личности, сердце и его устремления. Солнце и Луна – это золото и серебро, король и королева, душа и тело и т. п.

Тетраморфы

Изображение Христа с тетраморфами в углах (из манускрипта XII–XIII веков)

Тетраморфы считаются синтезом сил четырех стихий. В некоторых культах – это четырехголовые охранники четырех сторон света. Во многих традициях они символизируют универсальность божественного покровительства и защиту от возвращения первичного хаоса.

Четыре библейских тетраморфа имеют головы человека, льва, вола и орла. Впоследствии в христианстве эти образы стали отождествляться с апостолами – святыми Матфеем, Марком, Лукой и Иоанном, а также с воплощением Иисуса Христа, его воскресением и вознесением.

Тирс

Тирс

Тирс – жезл греческого бога вина Диониса (в римской мифологии Вакха). Он представляет собой копьеобразный шест (первоначально из полого стебля укропа), увенчанный сосновой шишкой или гроздью винограда и увитый виноградной лозой или плющом. Символизирует оплодотворяющую, плодородную силу – как сексуальную, так и растительную.

Шишка присутствует на тирсе, вероятно, потому, что к вину, которое пили во время вакханалий, примешивали забродившую сосновую смолу – считалось, что это усиливает сексуальные ощущения.

Топор (секира)

Великая Мать с двойным топором в руках (топор здесь – фаллический символ)

Топор – символ власти, грома, плодородия, дождя, приносимого небесными богами, и штормовых ветров, исправления ошибок, принесения жертвы, поддержки, помощи. Это также распространенный символ полновластия, связанный с древними богами Солнца.

Двойной топор (двусторонняя секира) обозначает священный союз бога Неба и богини Земли, грома и молнии. Иногда лезвия двусторонней секиры, напоминающие полумесяцы, символизируют Луну или единство противоположностей. Это также символ верховной власти и силы.

Трезубец

Трезубец Вишну как символ его триединой сути: творца, хранителя и разрушителя (с картины из Раджастана, XVIII век)

Трезубец – наиболее известный символ власти над морем и атрибут древнегреческого бога Посейдона (в римской мифологии – Нептуна).

Трезубец символизирует гром и молнию, три языка пламени, тройное оружие – сил неба, воздуха и воды. Это оружие и атрибут всех небесных, громовых богов и богинь бури, а также всех водных богов, силы и плодородия вод. Может символизировать Небесную Триаду, а также прошлое, настоящее и будущее.

Триграммы

Восемь триграмм, лежащих в основе «Книги перемен»

Триграммы – тройное сочетание непрерывных (ян) и прерывистых (инь) линий. Их восемь, и они легли в основу великой китайской книги предсказаний «Книга перемен» («И-Цзин»). Триграммы символизируют даосскую доктрину, что космос основан на постоянных потоках дополняющих друг друга сил: мужской (активной, ян) и женской (пассивной, инь).

Триграммы олицетворяют также три сути человека – его тело, душу и дух; иррациональные эмоции, рациональный ум и сверхрациональный интеллект.

Трикветра (трехлучевая свастика)

Трикветра

Трикветра в значительной степени обладает символикой свастики. Это также движение Солнца: на восходе, в зените и на закате. Высказывались предположения о связи этого символа с лунными фазами и обновлением жизни. Подобно свастике, это символ, приносящий удачу. Он часто появляется с солнечными символами; его можно видеть на древних монетах, на кельтских крестах, где, как считают, этот знак символизирует триаду и является символом морского бога Мананнана. Имеется он и в тевтонской символике, где связан с Тором.

Трискелион

Трискелион

Символ динамической энергии в виде трех ног, соединенных вместе. Это похоже на свастику, но с тремя, а не с четырьмя согнутыми лучами, создающими эффект циклического движения. Как мотив в кельтском искусстве и на греческих монетах и щитах, трискелион имеет отношение не столько к солнечным и лунным фазам (одно из предполагаемых значений), сколько к власти и физической силе. Кроме того, трискелион – символ победы и прогресса.

Трилистник

Трилистник

Геральдический трилистник

Трилистник-клевер символизирует объединение, равновесие, а также разрушение. Трилистник-кислица, который у арабов называется шамрах, символизирует персидские триады. Трилистник вообще символ триад, это Мистическое Дерево, «солнечное колесо». В христианстве – символ Троицы, а также эмблема святого Патрика и герб Ирландии.

Чтобы всегда быть с прибылью, носите с собой засушенный трилистник.

Тримурти

Тримурти – индийская Троица (зарисовка очень древнего изображения на граните, музей India House)

Священная индуистская Троица – Брахма, Вишну и Шива. Символизирует три цикла бытия: сотворение, сохранение и разрушение. Несмотря на сходство с христианской Троицей, Тримурти не является монотеистической концепцией «триединого бога».

Тримурти иногда изображается в виде черепахи. Она также символизирует Великую Мать – как в ужасном ее проявлении (с символами пламени и черепами), так и в благотворном (как Лотос, София, Тара, как мудрость и сочувствие).

Троица

Символ Троицы – Отца, Сына и Святого Духа – как Единого Бога

Троица отличается от триады тем, что является единством, соединением трех в одном и одного в трех. Это символ единства в разнообразии.

В христианстве это Отец, Сын и Святой Дух или Мария, Иосиф и Иисус. Символами Троицы являются рука (символ Отца), ягненок (символ Сына) и голубь (символ Святого Духа).

Троица символизируется желтым, красным и зеленым цветами; тремя качествами – Любовью, Верой и Надеждой.

Человек

Символическое представление человека как Вселенной: квадрат в круге (Китай)

Венец всего живого. Символ того, что способно к совершенствованию. Созданный по образу и подобию Бога, сочетает в себе материальное и духовное, небесное и земное. Это микрокосм, символически заключающий в себе все элементы мироздания (макрокосма). Человеческое тело в пифагорейской традиции изображается как пентаграмма, состоящая из рук, ног, головы. В человеке соединяются воедино три начала, которые современные ученые называют телом, жизнью и волей. Символически это можно изобразить тремя точками (началами), заключенными в круг.

Универсальные символы-понятия

Познание идей открывает во временных явлениях их безвременно вечный смысл.

Андрей Белый

Символы-понятия – это числа или геометрические фигуры, отражающие идеи, чувства или абстрактные качества чего-либо, непосредственно связанного с внутренним миром человека.

Дуальность мира

Диаграмма «Двойной треугольник Соломона»: Бог Света и Бог Отражения

Дуальность мира – взаимодействие двух полярностей, стоящих за сотворенной вселенной (света и тьмы, добра и зла и т. п.) – отражена во многих символах. Наиболее известный из них – символ «инь-ян». Интересны также символы, представленные знаменитым оккультистом Элифасом Леви, например диаграмма «Двойной треугольник Соломона».

Основной символ, которым пользуются далекие от оккультизма люди, чтобы изобразить дуальность, – это обыкновеннейшее число два, хотя, тем не менее, оно тоже обладает магической природой.

Инь-ян (принцип)

Знак «инь-ян»

Символ «инь-ян» китайцы называют Тай Ши – круг существования. Круг разделен две равные части S-образной кривой: темную, женскую (инь), и светлую, мужскую (ян). Круг как бы вращается, тьма сменяется светом, а затем свет сменяется тьмой. Китайцы утверждают, что даже в самом чистом свете есть элемент тьмы, и наоборот. Поэтому в центре каждой части изображается маленький кружок противоположного цвета: черный на белом фоне и белый – на черном. Этот образ символизирует сбалансированный динамизм противоположных сил и принципов в космосе.

Лучи

Солнце с зигзагообразными лучами (золотая маска инков)

Это символ оплодотворяющей силы, святости, духовного просветления и творческой энергии, созидательной силы. Лучи могут изображать волосы бога солнца, проявление божественной сущности или сияние (ореол), исходящее от святых. В солнечной символике седьмой луч – основной путь на небеса.

Мудрость

Древнегреческая богиня мудрости Афина (в римской мифологии Минерва) со свернувшейся змеей в ногах

Главные символы мудрости – змея (дневной, солярный, но по-женски гибкий мужской знак) и сова (ночной, лунный, действующий незаметно, бесшумно, но по-мужски решительно и быстро женский знак). Именно соединение в каждом из них важнейших свойств мужского и женского начал очень точно соответствует мудрости. Другие символы мудрости: дракон, грифон, павлин, сфинкс, единорог, птица, пчела, крыса, лотос, сердце, число семь, скипетр, свиток, кольцо и др.

«Из многих роз – капля масла, из многих мук – капля мудрости» (персидское изречение).

Ось мира

Тет Озириса

В эзотерической традиции символами оси мира, Мирового Древа, являются копье, меч, ключ и скипетр.

Египтяне в качестве символа мировой оси и Северного полюса используют Тат (или Тет) – позвоночник Озириса, который, кроме того, олицетворяет стабильность, прочность, неизменность, сохранение.

Свет

Свет, исходящий от Будды

Свет – первое творение. Он связан с началом и концом. Свет и тьма – два аспекта Великой Матери: жизнь и любовь, смерть и погребение, творение и разрушение.

Свет Солнца олицетворяет духовные знания, а отраженный свет Луны – рациональные, аналитические знания.

Свет обычно изображается в виде прямых или волнообразных лучей, диска Солнца или нимба. Как правило, прямая линия олицетворяет свет, а волнистая – жар. Свет и жар символически дополняют друг друга и являются двумя полюсами элемента Огня.

Смерть и возрождение

Смерть и возрождение человеческих существ. Деталь символики на могильном камне в Дьесте (Бельгия)

Этот образ в христианстве выражается древними сложными символами. Приведенная композиция объединяет две пары «круг–крест», каждая пара олицетворяет смерть и возрождение. Нижняя пара представлена скрещенными костями и черепом округлой формы (символом смерти). Из нижнего круга (черепа) растет крест, похожий на тот, на котором умер Христос, – крест воскресения, возрождения. Вся эта аллегория вписана в больший круг – знак того, что смерть и возрождение человеческих существ находятся в пределах великой духовной сферы космоса.

Сознание (три аспекта)

Символы, представляющие три аспекта сознания

Обычно три аспекта сознания изображают в виде трех животных: одно из них обитает под землей, другое – на земле, а третье летает над землей. Животное, обитающее под землей, представляет микрокосм; то, которое летает в воздухе, – макрокосм; а животное, которое ходит по Земле, представляет срединную ступень между первыми двумя – как мы, например. Наиболее часто встречающиеся символы: в Египте – кобра, правый глаз Гора, ястреб; в Перу – гремучая змея, пума и кондор; у американских индейцев – гремучая змея, горный лев и орел; в Тибете – змея, свинья и петух.

Танец

Танец дервишей (благодать Бога нисходит к танцору через поднятую руку, проникает через его тело и дух и, покинув его, соединяется с землей через руку опущенную)

Основная символика танца: космическая созидательная энергия, трансформация пространства во время, ритм вселенной, имитация божественной «игры» творения, поддержание силы, эмоций, активности.

Круговые танцы – имитация движения Солнца в небе. Танцы цепочкой – символ связи мужчины и женщины, Неба и Земли. Когда танец совершается вокруг какого-то объекта, его тем самым закрывают, заключая в магический круг, защищая и придавая силы.

Тень

Жреческий эзотеризм: знак Анафемы (из книги Элифаса Леви «Трансцендентная магия», 1896 год)

Символ негативного начала, в противоположность положительному солнечному. У некоторых примитивных племен тень символизирует душу человека, то же – в колдовстве и заговорах. Попасть в тень другого человека – плохая примета.

На приведенной гравюре изображена человеческая рука, совершающая акт благословения. Сильный луч света отбрасывает тень от благословляющей руки на стену, и эта тень – изображение рогатой головы Дьявола. Основная идея аллегории такова: зло и добро переплетены, а тьма и свет противоборствуют друг другу в некоем моральном поединке.

Эмблемы современных религий

Трудно найти Создателя и Отца этой вселенной, но и найдя Его, невозможно выразиться о Нем языком, понятным для всех.

В наше время на земном шаре существуют три мировые религии – христианство, ислам (мусульманство) и буддизм. Каждая из них принята во многих странах. Они возникли давно: христианство насчитывает 2000 лет, ислам – почти 1400, а буддизм – около 2500 лет.

Существуют и другие религии, которые, хотя и не являются мировыми, но тоже получили широкое распространение.

Христианство

Чаша и крест

Один из символов Христовой любви – сочетание чаши и креста. Чаша, или кубок, в данном случае указывает на великие страдания, которые претерпел Иисус, называя их «чашею».

Изображение чаши указывает на молитву Иисуса в Гефсиманском саду: «Отче! о, если бы Ты благоволил пронести сию чашу мимо меня! впрочем, не моя воля, но Твоя да будет».

Крест изображен остроконечным.Острые концы его, словно мечи скорби и боли, пронизывают страдающую душу.

Ислам

Звезда и полумесяц ислама

Главной эмблемой самой молодой мировой религии, ислама, основанной пророком Аллаха, Мухаммедом (570–632), является полумесяц со звездой внутри. Эмблема обозначает божественное покровительство, прирост, возрождение и, вместе со звездой, – рай. Звезда – традиционный символ независимости и божественности. Полумесяц – одна из верных сил, способных противостоять злу, могущественный талисман.

Полумесяц в исламских странах заменяет крест в организациях Красного Креста.

Буддизм

Майтрейя

В буддизме Майтрейя – имя Будды грядущего мирового порядка. Это единственный Бодхисаттва («чья сущность стала разумом»), которого признают все основные направления буддизма. Суть Бодхисаттвы – акт жертвы: отказ от блаженства нирваны, чтобы помочь человечеству в пределах, допустимых кармическими ограничениями.

Майтрейю изображают сидящим на троне в «европейской позе» (со спущенными ногами), что указывает на знак спешности его прихода; он золотого цвета. Рядом с Майтрейей принято изображать колесо дхармы, ступу и вазу.

Иудаизм

Могендовид, или Щит Давида

Иудаизм – древнейшая из монотеистических мировых религий (возник в I тысячелетии до н. э. в Палестине 4000 лет назад). Основные положения иудаизма в дальнейшем были заложены в христианство и ислам.

Символ иудаизма – Могендовид, или Щит Давида. Наиболее часто ассоциируется с шестиконечной звездой Давида. Менее употребимое название – Звезда Создателя; каждый конец звезды символизирует один из шести дней творения, а центральный шестиугольник – шаббат (священный день отдохновения).

Зороастризм

Ахура-Мазда

Зороастризм – древнейшая духовная традиция, основанная примерно 2500 лет назад пророком Зороастром, а ныне, к сожалению, преданная забвению. Верховный бог – Ахура-Мазда. Священный канон – Авеста («закон»).

Зороастризм исходит из учения о справедливости миропорядка и торжества справедливости в мировой борьбе добра и зла, в которой свободный выбор человека, его активное участие играют определяющую роль. Зороастрийская мораль содержит этическую триаду: благая мысль, благое слово, благое дело.

Индуизм

Один из символов Тримурти

Индуизм сочетает в себе элементы разных вероучений, уходящих корнями в глубину веков. Священные книги – Веды (Ригведа, Самаведа, Яджурведа, Атхарваведа). Три главных бога составляют Тримурти (триаду): Брахма – творец мира, Вишну – хранитель мира и Шива – разрушитель. Их изображения символизируют фундаментальные процессы перемен в природе (пракрити).

Основа индуизма – учение о перевоплощении душ (сансара), происходящее в соответствии с законом воздаяния (карма) за добродетельное или дурное поведение.

Конфуцианство

Символ конфуцианства – фигура самого «Высочайшего святого»

Конфуцианство и даосизм – самые известные из философских течений, существовавших в Китае еще до его объединения (221 год до н. э.). Постепенно переплетаясь с традициями буддистов и даосов, учение Конфуция приобрело религиозную окраску. По мнению Конфуция, надо жить так, чтобы поведение человека отражало законы Вселенной, существующей согласно определенному порядку. «Мастер преподает ученикам четыре дисциплины: культуру, поведение, верность и веру» (книга «Лунь Юй», 7.25).

Даосизм

Тай Ши (круг инь-ян)

Даосизм – буквально «Школа Дао». (Дао – «путь»). Это составная часть философско-религиозной триады (буддизм, конфуцианство, даосизм). Китайцы применяют на практике все три учения в зависимости от жизненной ситуации. В рамках личной жизни китаец исповедует даосизм, но когда дело касается общественных норм поведения, он становится конфуцианцем, а столкнувшись с неприятностями и жизненными невзгодами, обращается к буддизму махаяны.

Графически концепцию даосизма выражает тайцзи (в некоторых источниках – Тай Ши) – символ единого предела.

Синтоизм (синто)

Хорин-римбо – колесо закона (Япония)

Синто – японская национальная религия, ее название происходит от китайского слова «шен-дао» («священный путь» или «путь богов»). В основе синтоизма лежит культ божеств природы и предков. Высшие божества – Аматэрасу (богиня Солнца) и ее потомок Дзимму. Дзимму – первый император Японии, мифический предок японских императоров. День 11 февраля, когда, согласно мифам, в 660 году до н. э. Дзимму вступил на престол, считается днем основания империи и отмечается как праздник.

Кресты: самые распространенные формы

Крест – космический символ, который следует изучать и к которому следует относиться с самым большим уважением.

«Наука посвящения»

Общим символом человечества является крест. Его можно обнаружить в самых древних религиях, у самых древних цивилизаций: в Месопотамии, Египте, Китае и др. Кто изобрел крест? Никто – ибо он существует в природе. Это древний универсальный символ и прежде всего – символ связи микро– и макрокосма, духа и материи в их соединении. Крест символизирует вовлеченность духа (вертикальная линия) во время (горизонтальная линия).

Формы креста разнообразны. Они отличаются и числом перекладин, и числом концов креста, и пропорциями.

Греческий крест

Греческий крест

Крест самой простой формы: квадратный, с концами равной длины, горизонтальная перекладина расположена в середине вертикальной. Крест святого Георгия. Этот знак, называемый также crux quadrata, использовался с доисторических времен в самых разных значениях – как символ бога солнца, бога дождя, элементов, из которых создан мир: воздуха, земли, огня и воды. В раннем христианстве греческий крест символизировал Христа. Это также символ светской, земной власти, но полученной от Бога. Используется в средневековой геральдике.

Крест-молот

Крест-молот

Крест-молот – разновидность греческого креста. Один из главных геральдических крестов, назван так от французского potenee – «опора», поскольку его форма похожа на опоры, применявшиеся в древности.

Латинский крест

Латинский крест

Другое название латинского креста – длинный крест. Его горизонтальная перекладина расположена выше середины вертикальной перекладины. Это наиболее распространенный христианский символ в западном мире. Считается, что именно с такого креста был снят Христос, отсюда другие его названия: крест Распятия, крест Запада, крест Жизни, крест Страдания. Эта форма, так схожая с человеком, раскинувшим руки, символизировала Бога в Греции и Китае задолго до появления христианства. У египтян поднимающийся из сердца крест символизировал доброту.

Крест святого Петра

Крест святого Петра

Крест святого Петра – перевернутый латинский крест. С IV века он является одним из символов святого Петра, который, как полагают, был распят головой вниз на перевернутом кресте в 65 году н. э. во время правления в Риме императора Нерона.

Перевернутый латинский крест, то есть крест святого Петра, с заостренными концами – эмблема ордена тамплиеров.

Андреевский крест (косой крест)

Андреевский крест (косой крест)

Его называют также диагональным или косым. На таком кресте принял мученическую смерть апостол святой Андрей. Римляне использовали этот символ для обозначения границы, проход за пределы которой воспрещался. Косой крест также символизирует совершенство, число 10. В геральдике этот крест называется салтир.

Святой Андрей – покровитель России, и когда Петр Великий создавал русский военно-морской флот (в 1690-х годах), он принял для флага флота синий косой крест на белом фоне.

Тау-крест (крест святого Антония)

Тау-крест

Крест святого Антония

Тау-крест назван так из-за сходства с греческой буквой «Т» (тау). Он символизирует жизнь, ключ к верховной власти, фаллос. В Древнем Египте – знак плодородия и жизни. В библейские времена – символ защиты. У скандинавов – молот Тора. В христианских церквях – крест святого Антония (основателя христианского монашества, IV век). С начала XIII века – эмблема Франциска Ассизского. В геральдике это Всемогущий Крест. Известен также как «крест виселицы» из-за сходства с виселицей, как ее делали в древности.

Анкх (египетский крест)

Анкх – ключ к воротам смерти

Анкх – наиболее значимый символ у древних египтян, известный также как «крест с рукояткой». В этом кресте объединены два символа: круг (как символ вечности) и подвешенный к нему тау-крест (как символ жизни); вместе же они обозначают бессмертие, вечную жизнь. Анкх также олицетворяет «жизнь, которая придет», «время, которое настанет», скрытую мудрость, ключ к тайнам жизни и знаниям, а также ключ, открывающий врата смерти. Возможно, он символизирует Древо Жизни, а также солнце, поднимающееся над горизонтом.

Мальтийский крест

Мальтийский крест

Мальтийский крест также называют восьмиконечным. Он символизирует четырех великих богов Ассирии: Ра, Ану, Белуса и Хеа. Эмблема рыцарей Мальтийского ордена. Белый крест этой формы на черном фоне с самого начала был эмблемой военного и религиозного ордена госпитальеров (иоаннитов), которые перенесли свою штаб-квартиру на Мальту (в 1529 году) – отсюда это название.

В филателии мальтийский крест – первый почтовый штемпель, которым гасились почтовые отправления с 1840 по 1844 год.

Патриарший крест

Патриарший крест

Патриарший крест используется архиепископами и кардиналами. Его также называют католическим крестом кардинала и крестом с двумя перекладинами. Верхняя перекладина представляет собой титулус (доску для написания имени), введенную по распоряжению Понтия Пилата. Под названием архиепископский крест он часто встречается на гербах архиепископов.

Этот крест широко распространен в Греции и иногда называется анжуйским или лотарингским. Иногда его ошибочно называют лорранским крестом.

Папский крест

Папский крест

Папский крест с тремя горизонтальными перекладинами известен также под названием тройной крест. Используется в процессиях, в которых участвует папа. Три перекрестные линии символизируют власть и Древо Жизни.

Русский крест

Русский крест (крест святого Лазаря)

Этот восьмиконечный крест – крест русской православной церкви. Он называется также восточный крест или крест святого Лазаря. Символ православной церкви в Восточном средиземноморье, восточной Европе и России.

Верхняя из трех поперечных перекладин – титулус, где писалось имя, как в патриаршем кресте, нижняя перекладина – скошенная.

Крест Константина (знак «Хи-Ро»)

Крест Константина

Магическая печать с символом «Хи-Ро» (Агриппа, 1533 год)

Крест Константина – монограмма, известная как «Хи-Ро» («хи» и «ро» – первые две буквы имени Христа по-гречески). Легенда гласит, что этот крест император Константин увидел в небе по дороге в Рим, вместе с крестом он увидел надпись «Сим победиши». Согласно другой легенде, он увидел крест во сне в ночь перед битвой и услышал голос: «С этим знаком победишь»). Говорят, что именно это предсказание обратило Константина в христианство. И монограмма стала первым общепринятым символом христианства – как знак победы и спасения.

Розенкрейцерский крест

Крест с розой (розенкрейцерский)

Другое название – крест розы (пятилепестковой). Эмблема ордена розенкрейцеров. Символ гармонии, центра, сердца. Роза и крест символизируют также Воскресение и Искупление Христа. Этот знак понимается как божественный свет Вселенной (роза) и земной мир страданий (крест), как женское начало и мужское, материальное и духовное, духовная и чувственная любовь. Крест с розой есть символ посвященного, который благодаря работе над собой сумел развить в себе любовь, животворящую и преображающую материю.

Масонский крест

Масонский крест (крест в круге)

Масонский крест – это крест, вписанный в круг. Он означает святое место и космический центр. Четыре измерения пространства в небесном круге символизируют тотальность, включающую в себя Великий дух. Этот крест олицетворяет Космическое Древо, распространяющееся горизонтально над Землей и касающееся Небес через вертикальную центральную ось. Такой крест или выполнялся в камне, или изображался на стенах римских готических храмов, символизируя их освященность.

Пацифистский крест

Пацифистский крест (крест мира)

Этот символ разработал Джеральд Холтом в 1958 году для создававшегося тогда движения за ядерное разоружение. Для разработки символа он использовал семафорную азбуку: составил крест из ее символов – для «N» (nuclear, ядерное) и «D» (disarmament, разоружение) – и поместил их в круг, что символизировало глобальное соглашение. Скоро этот крест стал одним из самых распространенных знаков 60-х годов ХХ века, символизируя как мир, так и анархию.

Образы времени

Мудрые обращают годы в месяцы, месяцы – в недели, недели – в дни.

Все бренно в этом мире.

Образ неумолимого времени – дорога. Символ времени – песок, струящийся сквозь пальцы. Атрибуты отмеренного времени – часы, горящая свеча; это символ неуловимости настоящего мгновения.

В составе пантеона богов практически всех древних культур обязательно есть и бог Времени.

Абраксас

Абраксас – символ времени (гностическая гемма)

Абраксас – олицетворение божественных циклов солнечного года. Это мистический образ Верховного Существа, высшего из семи. Оно состоит из пяти эманаций (излучений): Нус (Ум), Логос (Слово), Фронезис (Разум), София (Мудрость), Динамис (Сила). Человеческое тело на изображении олицетворяет Бога. Две выходящие из него опоры-змеи – Нус и Логос (интуиция и быстрое понимание). Голова петуха означает предвидение и бдительность (разум). Две руки держат символы Софии и Динамиса: броню мудрости и плеть власти.

Калачакра

Намчу-вандэн – эмблема Калачакры

Калачакра – буквально «колесо времени», «ход времени». Сокровенная доктрина в буддизме ваджраяны. Астрологическая и астрономическая система, проникшая в Тибет из Индии. Калачакра вводит представление о цикличности времени с периодами 12 и 60 лет (тибетский календарь). Согласно легенде, учение Калачакры было дано Буддой Шакьямуни. По другим данным, это учение принес в Тибет Питоп, или Великий Калачакрапада, который, попав чудесным образом в Шамбалу, был там посвящен царем Кальки в учение Калачакры.

Кронос

Кронос (рим. Сатурн), XV век

Древнегреческий символ времени – титан Кронос – в русском языке стал родоначальником многих слов (частица «хроно» – часть сложных слов, указывающих на их отношение к времени): хронический, хронология, хронoметр и др.

Кронос (рим. Сатурн) – бог Времени, в образе увядающей осени или уходящего Солнца иногда вместе со своим серпом имеет еще и капюшон, который символизирует невидимость, смерть и отступление. Поскольку капюшон покрывает голову, он означает также мысль и дух.

Оуробор (змей, кусающий свой хвост)

Оуробор как эмблема смерти (из книги Джорджа Уитере «Собрание эмблем, древних и современных», 1635 год)

Наиболее очевидное значение символа связано с понятием времени: ход времени сопровождается разрушением, поскольку прошлое как будто бы безвозвратно теряется. Это отражено в том, что змей «пожирает» свой собственный хвост, подобно времени, которое, по-видимому, само себя поглощает. Можно сказать, что время имеет циклическую природу (день следует за ночью, времена года повторяются и др.), и это нашло свое выражение в форме змея, в том, что он свернулся в круг. Cимвол эмблемы можно выразить фразой: «В моем начале заложен мой конец» или «Конец находится в начале».

Темпус

Образ Времени – Темпус (Рим)

Римляне изображали время в виде мужской крылатой фигуры с козлиными ногами, с косой в руках («неумолимая коса времени») – это Темпус (от лат. tempus – время).

Фигура Темпуса олицетворяет бренность и скоротечность всего живого, а потому ассоциируется с символом Смерти.

«Часы» нашего организма

«Часы» нашего организма (числа во внутреннем круге – время суток)

Китайцы считают полезным воздействовать на органы тела в строго определенный период суток (стимулировать – во время активности, и наоборот).

Двенадцать основных органов, согласно медицинской практике, имеют по два часа активности (см. рисунок). Обозначения: GB – желчный пузырь: (с 23 до 1 часа); Liv – печень; Lu – легкие; Li – толстый кишечник; St – желудок; Sp – селезенка; H – сердце; Si – тонкий кишечник; UB – мочевой пузырь; K – почки; P – головной мозг; TW – спинной мозг.

Символика царства растений

Красота растений есть общее достояние мира, то есть она всегда макрокосмична, а не микрокосмична.

Символ царства растений – дерево. Его ветви, олицетворяющие разнообразие, отходят от общего ствола, что является символом единства. Зеленое, цветущее дерево – символ жизни; мертвое, засохшее – символ смерти. Старое, сучковатое дерево может означать мудрость и силу.

Цветок – эмблема круговращения рождения, жизни, смерти и возрождения. Цветы олицетворяют красоту (особенно женскую), невинность, божественное благословение, весну, молодость, но также и краткость бытия. Все в цветке может нести определенную символику: и его форма, и число лепестков, и цвет, и запах…

Виноградная лоза

Орнамент – мотив виноградной лозы

Виноград – один из древнейших символов плодородия, изобилия и жизненной силы. Виноградная лоза – один из символов Христа. Важность вина во многих религиозных ритуалах основана на символической связи винограда с Божественным благословением. Виноградная лоза была первым растением, посаженным Ноем после потопа.

Сок винограда напоминает человеческую кровь. В некоторых мистериях виноград является символом похоти и разврата, алчности и пьянства. Гроздь винограда иногда представляется как фаллический символ. Но виноград рассматривается также и как символ солнечного духа.

Вишня

Сакура (японская гравюра XIX века, Утагава Кунисада)

В христианской иконографии вишню иногда изображают вместо яблока как плод с Древа Познания добра и зла; иногда Христос изображается с вишнями в руке. В Китае вишневое дерево – символ удачи, весны (из-за раннего цветения) и девственности; вульву называют «весенней вишней». Цветущая вишня (сакура) – символ Японии; она культивируется как декоративное дерево; ее плоды несъедобны. Японцы отождествляют цветущую сакуру с восходящим Солнцем. Вишня, кроме того, – эмблема самураев.

Гранат

Раскрывающийся гранат

Раскрывающийся гранат (плод) символизирует пасхальное Воскресение Христа, дарует христианам уверенность в прощении, веру в жизнь грядущую и воскресение. Из-за обилия семян гранат – символ плодородия. Это также древняя восточная эмблема бога Солнца и эмблема жизни, божественный символ, именуемый «запретным секретом».

Остатки цветка (шипок) на верхней части плода служат изображением короны в геральдике. Гранат изображается всегда золотым. А зерен граната всегда двенадцать – число, с древности символизирующее совершенство.

Дуб и желудь

Желудь

Дуб – символ мощи, выносливости, долголетия и благородства, а также славы. В Древнем Риме венок из дубовых листьев был высочайшей наградой полководцу-победителю.

Как эмблему доблести и мужества дуб (дубовый лист, дубовую ветвь, дубовый венок, дубовую гирлянду) используют в военных знаках различия во многих странах.

Дуб с желудями – эмблема зрелости, полной силы. Дуб без желудей – эмблема юной доблести. Желудь – символ плодородия, процветания, духовной энергии, произрастающей из зерна истины.

Каббалистическое Древо

Каббалистическое Древо (рисунок из книги Р. Флудда, 1574–1637)

Это перевернутое Космическое Древо. Его крона касается земли, а корни укреплены в духовном мире и питаются духовной энергией неба, распространяя ее во внешний мир и вниз. Это любимый образ в каббалистике и других мистических и магических учениях. Он свидетельствует о том, что человеческая жизнь – нисхождение духа в тело и обратно. Это также символ философского роста, роста внутрь.

В «Бхагаватгите» перевернутое дерево означает происхождение всего из единого корня, в исламе – символ счастья и удачи.

Кипарис

Семь кипарисов и двенадцать ветвей – олицетворение мироздания и его вечных истин (Стамбул, Турция)

На Западе кипарис – мистический символ смерти и траура, олицетворение печали и скорби, поскольку использовался при бальзамировании тела и для изготовления гробов. В Азии это символ долголетия и бессмертия. Арабы называют кипарис Древом Жизни. В Греции кипарис всегда имел двойственную репутацию: он был символом мрачного бога подземного царства Гадеса, но в то же время и более жизнерадостных богов – Зевса, Аполлона, Афродиты и Гермеса. Поэтому он стал символом возрождения и жизни после смерти. В Китае дым кипарисовых ветвей – символ светлых сил, оберег от несчастья.

Клевер

Клевер с четырьмя лепестками

Трехлистная форма клевера (трилистник) – символ христианской Троицы. Редко встречающийся четырехлистник является символом удачи; существует поверье, что Ева взяла один четырехлистник как память о потерянном рае. Но клевер с пятью лепестками приносит несчастье.

В Китае клевер – эмблема весны. Ирландцы используют листья клевера в качестве национальной эмблемы, что, вероятно, восходит к почитанию этого растения кельтами за его активный рост весной.

Корни

Семя и корни

Символ связи с землей, с семьей.

«Человек, имеющий корни», – говорят о человеке, который твердо стоит на ногах.

«Смотреть в корень» – обращать внимание на самое существенное, вникать в суть.

«Корень зла» – источник, сердцевина зла.

«Вырвать с корнем» – лишить жизни, перерезать доступ к питанию, радикально разрешить проблему.

Лавр

Лавровый венок

Лавр символизирует бессмертие, но также триумф, победу и успех. Он олицетворяет мир, очищение, защиту, божественность, тайные знания. Согласно древнегреческому мифу, бог Солнца, зари и поэзии Аполлон преследовал нимфу Дафну, которая, убегая от него, превратилась в лавровый куст (по-гречески «лавр» – «дафн»). В объятиях Аполлона оказалось деревце, ветвями которого он украсил свою голову и лиру. Вот почему в Древней Греции музыкантов, поэтов, танцоров, покровителем которых был Аполлон, награждали именно лавровыми венками. Римляне распространили эту традицию и на военных победителей.

Лилия

Fleur-de-lys, герб французских королей

Один из наиболее многоплановых и даже противоречивых символов. Тройная лилия – символ Троицы и трех добродетелей: Веры, Надежды и Милосердия. Лилия – атрибут многих святых, в том числе Архангела Гавриила. Белые лилии могут иногда символизировать смерть. Лилия также ассоциируется с плодовитостью и эротической любовью из-за ее пестика, имеющего стреловидную или копьевидную (фаллосоподобную) форму, и специфического сильного аромата. Лилия – знак процветания и королевской власти в Византии, позднее – эмблема французских королей.

Пальмовая ветвь

Пальмовая ветвь

Это главный символ победы и триумфа («пальма первенства»).

В Древней Греции пальмовая ветвь вручалась вместе с венком победителю Олимпийских игр как личное пожелание здоровья и долголетия. В Древнем Риме ими награждали также победивших солдат и гладиаторов. На праздновании Вербного воскресенья в Иерусалиме священники раздают освященные пальмовые листья в виде креста. В России заменой им служат вербы. Пальмовая ветвь – символ долговечности и одна из эмблем мира, причем в отличие от голубя светская эмблема.

Роза

Десятилепестковая роза

Роза имеет полярную символику: это небесное совершенство и земная страсть, время и вечность, жизнь и смерть, плодородие и девственность. Это также символ сердца, центра мироздания, космического колеса, божественной, романтической и чувственной любви. Роза – завершенность, таинство жизни, ее средоточие, неведомое, красота, благодать, счастье, но также сладострастие, страстность, а в сочетании с вином – чувственность и совращение. Бутон розы – символ девственности; увядшая роза – скоротечность жизни, смерть, скорбь; ее колючки – боль, кровь и мученичество.

Розы геральдические

Геральдические розы: 1 – Ланкастеров; 2 – Йорков; 3 – Тюдоров; 4 – Англии (бэдж); 5 – немецкая роза Розенов; 6 – русская гербовая

Геральдическая средневековая роза имеет пять или десять лепестков, что связывает ее с пифагорейскими пентадой и декадой. Роза с красными лепестками и белыми тычинками – эмблема Англии, самый известный нагрудный знак английских королей. После «Войны Алой и Белой Роз», названной так по нагрудным знакам фамилий, боровшихся за английскую корону, алая роза Ланкастеров и белая Йорков были объединены в форме «Розы Тюдоров». Ярко-пунцовая роза – неофициальная эмблема Болгарии. Знаменитая чайная роза – эмблема Пекина. Девять белых роз – в гербе Финляндии.

Роcтки

Ростки папоротника (четырехчастная схема)

Ростки (сердцевидная схема)

Росток – символ пробуждения жизни. Простейший вид – зернышко, «вылупляющееся из своей оболочки», росток, напоминающий свернутый лист папоротника. Эти изображения сопровождаются округлой или сердцевидной полосой. Сердцевидная схема (острием вверх) – устойчивое выражение аграрного орнамента. Широко используется четырехчастная композиция с ростками папоротника (священного растения у многих народов), листья которого устремлены во все стороны.

Тыква

Расписная тыква-горлянка, сосуд и талисман (Китай, XIX век)

Тыква-горлянка в китайской культуре – символ здоровья, мудрости и даже всего мироздания.

В Америке тыква – главный атрибут традиционного праздника нечистой силы – Хэллоуина. Для этого праздника на тыквах вырезают лица, а внутрь тыквы вставляют свечи и с такими «светильниками» ходят по домам.

В приниженной символике тыквой называют голову.

Чертополох

Чертополох

Эмблема Шотландии

Чертополох означает вызов, аскетизм, мстительность, мизантропию. Пища ослов. Символизирует также грех, скорбь, проклятие Бога при изгнании из рая; согласно Книге бытия, чертополохом был наказан Адам. В христианском искусстве чертополох – эмблема мученичества.

Но в символике чертополоха есть и другая сторона. Подобно некоторым другим колючим растениям, он считается талисманом и наделяется свойством заживлять раны. Это растение с сильными магическими свойствами.

Яблоня, яблоко

Державное яблоко – один из символов монархической власти

Яблоня – символ плодородия, один из символов Матери-Земли. Цветущая яблоня – вечная юность, а в Китае – мир и красота. Яблоко – символ блаженства, особенно сексуального, символ восстановления потенциала, целостности, здоровья и жизненных сил. Яблоко олицетворяет любовь, брак, весну, молодость, долголетие или бессмертие, в христианстве оно связано с искушением, падением человека и его спасением. Надкушенное яблоко – символ греха, анархии, но также знания и надежды. В искусстве яблоко во рту обезьяны или змеи – символ первородного греха.

Символика царства животных

Животное царство в своих разных породах воплощает в себе разные импульсы человеческой психики.

Н. П. Рудникова

В человеческом сознании животные (звери, птицы, рыбы, насекомые и др.) выступают как символы, на основе которых составляются образные картины тех или иных аспектов бытия. Символика животных распространяется и на высшие основы самого человека (так, представления о душе находят выражение в облике птицы).

Древние египтяне полагали, что определенные животные могут воплощать космические и божественные энергии. Двенадцать животных зодиака представляют собой архетипические символы и олицетворяют замкнутый цикл энергий.

Аист

«Обретший бессмертие улетает на аисте в небо» (аист и журавль – символы бессмертия)

Аист символизирует новую жизнь, приход весны, удачу, дочернюю или сыновью привязанность. В христианстве аист олицетворяет чистоту, целомудрие, благочестие, бдительность. На Востоке аист – символ бессмертия. У славян аист – древняя птица-тотем, символ родины, семейного благополучия, домашнего уюта, любви к родному дому. Наказание за разорение гнезда или убийство аиста – огонь, испепеляющий дом убийцы или его самого. Существует поверье, что новорожденных детей приносит аист. Аист, несущий младенца, – символ крестин.

Бабочка

Изображение бабочки

В настоящее время в символике бабочки преобладает значение ветреницы, беззаботного существа, но также и чистой радости. В древности же она представлялась символом трансформации и бессмертия благодаря своему жизненному циклу: жизнь (яркая гусеница) – смерть (темная куколка) – возрождение (свободный полет души). Бабочка – символ души во многих регионах мира. В Китае это символ легких развлечений и знак влюбленных. В Японии бабочка – символ непостоянного и ветреного любовника, а также женской суетливости и ремесла гейши; две бабочки – супружеское счастье.

Баран (овен)

Голова барана

Один из важнейших символов и одна из самых распространенных в мире эмблем (в вариантах: агнец, золотое руно, голова барана, рога барана). Баран символизирует огонь, солнечную энергию, пылкую страсть, мужество, импульсивность, упрямство. Во многих культурах с древнейших времен означает мужскую силу и сексуальную потенцию. Символ стихии – как созидательной, так и разрушительной, требующей жертв.

В современном бытовом понимании слово «баран» часто служит синонимом тупости или тупого упрямства.

Бык

Священный бык Апис (Египет)

Символ плодородия земли. Самый распространенный символ сексуальной силы, а также насилия и ярости. Это воплощенная мощь, власть, мужская плодовитость. Символ божественности, царственности, стихийных сил природы, изменявший значения в различные эпохи и в разных культурах. Рога быка – знак полной Луны, его огромное тело – опора мира в исламской и ведической традициях; его обильное семя подпитывается Луной в иранской мифологии; его мычание, топанье копытами и трясение рогами повсеместно связывается с громом и землетрясением.

Волк

Волчица, кормящая Ромула и Рема – основателей Рима (бронзовая фигура, VI–V век до н. э.)

Символика волка двойственна.

Негативная символика: свирепость, коварство, жадность, жестокость, зло, прожорливость и сексуальность. Истории о ведьмах, превратившихся в волков, и о мужчинах, ставших оборотнями, олицетворяют страх перед одержимостью демонами и мужским насилием.

Позитивная символика: храбрость, победа, забота о пропитании семьи. Волк – распространенный символ познания через опыт, эмблема воинов.

В геральдике волк – символ злости, прожорливости, жадности.

Ворон, ворона

Ворон на щите – символ очищения

«Дщери иерусалимские! Черна я, но красива» (алхимический символ)

Ворон и ворона имеют схожую символику. С одной стороны, во?роны связаны с войной, смертью, запустением, злом и несчастьями. Из-за своей черноты они считаются символами хаоса и тьмы, предшествовавшей свету творения. С другой стороны, ворон – символ мудрости и справедливости. У ворона есть связь с миром мертвых, ему под силу достать живую и мертвую воду. Бытует мнение, что ворон – помощник в путешествии и предсказатель. Существует поверье, что, когда воро?ны начинают покидать свои гнезда, это предвещает голод или другие несчастья.

Голубь

Голубь как символ мира

Мир, чистота, любовь, безмятежность, надежда. Традиционный христианский символ Святого Духа и крещения. Существует легенда, что дьявол и ведьмы могут превратиться в любое существо, кроме голубя и овцы. Голубиное воркование связывают как с сексом, так и с рождением детей. Пара голубей – символ сексуальной гармонии; поэтому голубка стала персонификацией нежной жены. Голубь с лавровой ветвью – символ мира, голубь с рогом изобилия – счастливая случайность. На Востоке голубь – один из многих символов долголетия.

Дельфин

«Мальчик с дельфином» (Андреа дель Вероккио, 1475 год. Скульптура для фонтана)

Дельфин символизирует любовь, мощь моря, скорость, спасение, превращение. Это друг человека в морской стихии и ее символ. Дельфин также – символ безграничной радости, игривости, непредсказуемости и даже духовного просветления. В Древней Греции повелитель вод Посейдон, (римский аналог – Нептун), часто изображался в повозке, которую тянули дельфины. Как символ жертвы христовой дельфин часто изображается пронзенным трезубцем или якорем (тайным символом креста). В переплетении с якорем дельфин является символом осторожности, ограничения скорости: «Спеши медленно».

Жаба, лягушка

Стилизованное изображение лягушки

Жаба – один из атрибутов колдовства. Согласно европейским суевериям, это спутница ведьм, напоминающая о смерти и мучениях грешников. В то же время жабу, олицетворяющую в Средние века тьму и зло, жадность и похоть, связывают с рождением и возрождением. Символ уродства, за которым может таиться прекрасная душа. Также символизирует долголетие и богатство: считается, что жаба, подобно змее, несет во лбу драгоценный камень, притягивающий удачу.

Лягушка – широко распространенный символ плодовитости, предвестница весенних дождей и пробуждения природы.

Журавль

Пляски журавлей (браслет из Киева)

В Китае и Японии журавль символизирует бдительность, долголетие, мудрость, преданность, честь. Изображение журавля, летящего к Солнцу, – символ общественных устремлений, его белоснежное тело – символ чистоты, красная голова – огонь жизни. В Индии и в некоторых кельтских регионах журавль – символ предательства, предвестник несчастий. На Руси журавли наравне с аистами и соловьями считаются «божьими птицами», их символика связана с Солнцем.

Во всем мире журавль является символом общения с богами.

Змея: общая символика

Питон (Греция)

Змея – универсальный и наиболее сложный из всех символов, воплощенных в животных, а также самый распространенный и, возможно, самый древний из них. Змея означает смерть и уничтожение, но также жизнь и воскресение. Это и солнечное начало, и лунное, свет и тьма, добро и зло, мудрость и слепая страсть, исцеление и яд, хранитель и разрушитель. Такая двойственность символики заставляет балансировать между страхом и поклонением, змея предстает то героем, то монстром.

Змея: положительная символика

«Змеиная сила»

Пример положительной символики змеи – понятие кундалини: символ внутренней силы, психической энергии, змееподобный клубок жизненной энергии, дремлющей в основании позвоночника. Энергию кундалини называют «змеиной силой». Иногда ее изображают в виде свернувшейся змеи с головами на обоих концах. В Индии и других регионах змеи часто считаются хранителями святынь, источников воды и сокровищ. Эта традиция связана с символикой плодородия, присущей змее, и с поверьем, что драгоценные камни – это застывшая слюна змей.

Змея: негативная символика

Иллюстрация к «Поэме о Гильгамеше» (печать Шумеро-Аккадского царства)

Если рассматривать пугающую часть символики змеи, то она – явный прообраз драконов и морских змей или змееподобных гибридов, символизирующих множество опасностей, подстерегающих человека в жизни. Змея – одно из самых дурных предзнаменований, символ тьмы, зла, ненависти, греха, искушения, обмана. Змею обвиняют в том, что из-за нее люди потеряли Божий дар вечной жизни.

Змеи были непременным атрибутом колдуний, ведьмовские зелья включали в себя некоторые части змей.

Змея: космогоническая символика

Змея и яйцо (образ змеи, поддерживающей мир)

Змея является в первую очередь магическим символом сил, породивших жизнь. Змея, кусающая себя за хвост, – символ не только вечности, но и божественной самодостаточности. Образ змеи, охраняющей отложенные ею яйца, ассоциируется с огромной змеей, обвившей весь мир и поддерживающей его или помогающей земному диску плавать в окружающем его Океане. Змея находится в постоянном контакте с силами земли, вод, тьмы и загробного мира – одинокая, хладнокровная, скрытная, способная омолаживаться, сбрасывая кожу.

Змея как символ мудрости

Змея, обвившаяся вокруг жезла

Тотемный символизм в сочетании с верой, что змеи знают тайны земли и способны видеть в темноте, наделяют змей мудростью или даром прорицания. «Будьте мудры, как змии, и просты, как голуби», – сказал Христос своим ученикам (Евангелие от Матфея, 10:16). Греческое слово «дракон» (которым не только называется монстр, но которое означает также и «змея с пронзительным взглядом») этимологически связано со зрением. В искусстве змея – атрибут богини мудрости Афины (Минервы) и аллегорической фигуры Благоразумия, означающий дар предвидения.

Змея: алхимия и целительство

Жезл Меркурия (кадуцей)

Посох Асклепия (Эскулапа)

Змея, обвившаяся вокруг жезла, – алхимический символ Философского Меркурия в его первичном состоянии.

Согласно мифологии, Гермес (Меркурий), посланник богов, получил кадуцей – крылатый посох, обладающий силой примирять противников. Когда он поместил его между двумя борющимися змеями, те мирно обвили посох и успокоились. Змеи, обвившие кадуцей, символизируют взаимодействие противоположных сил. Змея, обвивающаяся вокруг сучковатого посоха, – эмблема греческого бога врачевания Асклепия (Эскулапа), который, как считается, мог даже воскрешать мертвых.

Ибис

Ибис (египетский папирус эпохи XIX династии, 1295–1186 годы до н. э.)

Ибис – священная птица египтян. Символ мудрости. В Древнем Египте ибис считался воплощением лунного божества Тота, величайшего бога Египта, покровителя оккультных знаний, давшего человечеству письменность. Тот изображается человеком с головой Ибиса. Эту птицу называют также хранителем урожая. Убить ибиса, даже случайно, считалось ужасным преступлением.

Считается, что ибис может жить только в Египте и, перевезенный в другие страны, умирает там от тоски.

Козел

Козел

Козел – символ потенции, жизненной силы, мужественности, но также хитрости, похоти и глупости; он олицетворяет разрушительные тенденции в мужчине. В Западной традиции козлом часто называют старого похотливого мужчину. В Китае и в Индии козел – позитивный мужской символ. В христианстве козел – персонификация нечистоты и низменного вожделения.

Козла часто используют для жертвоприношения («козел отпущения»). Козел тесно связан с Дионисом (Бахусом).

Корова

Священная корова

У многих народов это животное символизирует плодородие, благосостояние, а также терпение и пассивную выносливость. Корова – древний символ материнского молока и (как и бык) космических сил, сотворивших мир. Во многих культах, от Древнего Египта до Китая, корова персонифицирует Мать-Землю. Она также символизирует Луну и небо, поскольку ее рога напоминают полумесяц, ее молоко ассоциируется с Млечным Путем. Головы богинь Луны в различных культурах украшены коровьими рогами. Исключительным почетом пользуется корова в Индии.

Лев

Лев – символ Солнца

Лев, повсеместно называемый царем зверей, – один из самых часто встречающихся символов силы и величия на протяжении тысяч лет. Общая символика: божественная, солнечная энергия (символ огня и Солнца), царственная власть, сила, храбрость, мудрость, справедливость, покровительство, защита, но также и жестокость, всепожирающая свирепость и смерть. Лев – образ всех великих и ужасающих сил природы. Он считается как разрушителем, так и спасителем, он способен представлять как зло, так и борьбу со злом. Лев – одна из ипостасей Сфинкса.

Львы геральдические

Геральдические львы

В геральдике – самое распространенное и любимое изображение животного. Атрибуты геральдического льва: лук и стрелы, сабля, меч, секира, топор, алебарды и т. п. Основная геральдическая форма – лев на задних лапах и в профиль. При этом на голове обозначаются один глаз и одно ухо. Окровавленный язык высунут из пасти. Этот лев – символ силы, мужества, великодушия. Есть и другие варианты изображения. В государственных гербах коронованный лев – эмблема власти над подданными.

Медведь

Геральдический медведь

Медведь – символ добродушия и ярости, богатырской силы и неуклюжести, лени и нежных материнских чувств, обжорства и аскетизма (хотя и невольного: всю зиму спит без всякой пищи, «сосет лапу»). Медведь олицетворяет непредсказуемость, дурной нрав, зло, грубость, жадность, греховность, дьявола, а также жестокую примитивную силу. Знак воинов в Северной Европе и Азии.

Кроме того, медведь – символ Луны и воскресения. К. Юнг считает, что медведь символизирует темные стороны подсознания.

Мышь, крыса

Мышиная свадьба

В России мышь часто называют «серым воришкой». Мышь также – символ робости, незаметности. Мышь помогает найти потерю в доме: «Мышка, мышка, поиграй да назад отдай». Мышь дает прирост. В Китае мышь – одно из популярных божеств богатства.

Общая символика крысы: это разрушение, агрессивность, жадность; крысу связывают с бедствиями (мором) и смертью, но также она – воплощение упорства, ловкости, хитрости и плодовитости, к тому же обладает даром предвидения (легендарная способность предвидеть гибель кораблей).

Обезьяна

Хануман, бог-обезьяна, играющий с персиками бессмертия (с китайского блюда)

Символика обезьяны противоречива. Чаще всего обезьяна олицетворяет грех, в частности физический. Она также – символ хитрости, коварства, стремления к роскоши, злобности, лени (из-за своих угловатых движений), пьянства, иногда – символ обучения. Обезьяна (наряду с белым слоном и коровой) – третье священное животное в Индии. Даже сейчас оскорбление обезьяны действием вызывает сильное недовольство религиозных людей. В Японии обезьяний крик – символ глубокой тоски. Резные фигурки трех обезьян считаются на Востоке талисманом, охраняющим от клеветы.

Олень

Олень (нагрудный знак Ричарда II, конец XIV века)

Универсальный символ, ассоциирующийся с Востоком, восходом, светом, чистотой, обновлением, созиданием и духовностью, но также и с одиночеством. Характерные качества оленя: стремительность, грация и красота. Олени – чудесные вестники и проводники. Им приписывают целебные силы, особенно умение разыскивать лечебные травы. Олень, кроме того, – символ осторожности и острого слуха. В Китае олень связан с богатством (изобилием) и удачей. Олень – сильный магический заступник, один из духов-покровителей сибирских народов.

Орел

Орел как символ высшей власти и солярной природы владыки небес и главы всех богов Зевса (роспись на греческой чаше, VI век до н. э.)

Орел – властелин воздуха, воплощение мощи, скорости. Солярный символ богов Солнца, правителей, воинов. Ассоциируется с величием, властью, господством, отвагой, вдохновением. Олицетворяет полуденное Солнце, освобождение от уз, победу, гордость, созерцание, царственное происхождение, высоту. Считают, что орел способен долететь до Солнца, поэтому его называют посланцем небес. Двуглавые орлы могут означать всезнание и двойную власть. Орел со змеей в когтях символизирует победу духа. В этой схватке орел – олицетворение силы добра, а змея – силы зла.

Орлы геральдические

Двуглавый орел (российская вышивка)

Орел – эмблема США

В геральдике орел – символ власти, господства, великодушия и прозорливости. На гербах орел чаще всего изображается летящим грудью вперед, с поднятыми вверх крыльями или парящим. Бывает одно– или двуглавым. Еще со времен основателей Рима Ромула и Рема его изображали на штандартах как «птицу Юпитера». После завоевания христианами Палестины двуглавый орел стал гербом Священной Римской империи, а позже Австрийской (Австро-Венгерской) и Российской империй. Белоголовый американский орел с распростертыми крыльями стал эмблемой США.

Павлин

Павлин (средневековый персидский рисунок)

Это сияющая слава, бессмертие, величие, неподкупность. Великолепный хвост павлина – символ всевидящего Солнца и вечных космических циклов, а также звездного небесного свода и, как следствие, всеединства и взаимосвязанности. В Древнем Риме павлин считался эмблемой императрицы и ее дочерей, тогда как орел был птицей императора. В исламском декоративном искусстве единство противоположностей (Солнце в зените рядом с полной Луной) изображается в виде двух павлинов под Мировым Древом. В христианстве павлин, с одной стороны, – символ вечной жизни, а с другой – символ гордыни, роскоши и тщеславия.

Паук

Паук, изображенный на амулете американских индейцев

Женское начало. Великая Мать в ужасной ипостаси ткачихи судьбы иногда изображается в виде паука. Все лунные богини – прядильщицы и ткачихи судьбы. Паутина, которую плетет паук, плетется из центра по спирали, – символ созидательных сил Вселенной, символ мироздания. Паук в центре паутины символизирует центр мира; Солнце в окружении лучей; Луну, олицетворяющую циклы жизни и смерти, прядущую паутину времени. Паук часто ассоциируется с удачей, богатством или дождем. Убить паука – плохая примета.

Пеликан

Тарелка из красной каменной массы с изображением пеликана, кормящего птенцов своей кровью (Стаффордшир, около 1660 года)

Пеликан символизирует самопожертвование и родительскую любовь, а также милосердие. В геральдике эту птицу, как правило, изображают похожей на орла или журавля, стоящей в гнезде и пытающейся накормить птенцов своей кровью. Раннехристианские писатели сравнивали пеликана, питающего своей плотью потомство, с Иисусом Христом, пожертвовавшим свою кровь во имя спасения человечества. Пеликан также – символ европейского оккультизма (в первую очередь, алхимиков и розенкрейцеров), выражающий подвиг самопожертвования и вечное возрождение жизни.

Петух

Петух – солнечная птица (изображение-оберег, Китай, XX век)

Петух – это бдительность, храбрость, мужество, предвидение, надежность. Вестник зари, символ Солнца и духовного возрождения. Эти его качества превалируют над гордыней, высокомерием, похотью, также ему присущими. У римлян означает «третью стражу времени»: между полуночью и утренней зарей. Петух – защитник от всякого рода зла. Считается, что ночные призраки и нечисть исчезают с первым криком петуха. Красный петух отводит пожар от дома, а белый – привидений. Восточные славяне перед вселением в новый дом запускали туда петуха. Если он благополучно проводил ночь, то можно было вселяться.

Пчела

Молодая женщина, собирающая пчелиный мед (Травник XV века)

Пчела олицетворяет трудолюбие, усердие, организаторские и творческие способности, чистоплотность, общительность, скромность, одухотворенность, храбрость, мудрость, самоотверженность, красноречие («медовые речи»). В греческой, ближневосточной, исламской традициях пчела – аллегория души. Китайцы ассоциируют пчелу с непостоянством «разборчивых невест». У древних славян пчела была символом любви, так как соединяла в себе «сладость меда и горечь жала». Пчелиная матка, богиня-мать, символ верховной власти, плодородия.

Скорпион

Скорпион (гностическая гемма)

Скорпион – символ зла, саморазрушения, смерти, наказания, возмездия, мстительности, предательства, но также глубокого понимания мира. Иногда скорпион служит талисманом и амулетом – Парацельс советовал носить его людям, страдающим заболеваниями половой системы. В Африке считалось, что скорпион сам выделяет средства против своего яда, поэтому он был символом не только убийства, но и врачевания. Красная звезда Антарес на «спине» небесного созвездия Скорпиона считалась в Европе самым плохим огнем на небе.

Слон

Белый слон

В настоящее время стали метафорическими огромная масса и неповоротливость слона. Однако слон, прежде всего, – символ силы: как нежной, любящей, так и яростной, разрушительной. Слонов считают злопамятными, поскольку они никогда не забывают нанесенных им обид и жестокого обращения. Толстая кожа слона символизирует душевную неуязвимость. Слон также символ власти, проницательности, процветания, счастья, олицетворяет элемент Земли, память, мудрость, долголетие, верность, терпение, сострадание. Слон часто изображается на амулетах удачи.

Собака

Нетер Анубис (бог-собака)

В одних странах собака – священное животное, в других она считается нечистым, жадным, даже подлым созданием и олицетворяет зло. По исламским представлениям, ангелы никогда не посетят дом, в котором живет собака. Но чаще всего собака – символ защиты и самопожертвования. А также охоты (иногда этот символ несет негативный оттенок – травли).

В древнеегипетской мифологии собаки, как хорошие проводники и стражи в загробном мире, считались спутниками Анубиса, изображаемого с головой шакала или собаки.

Сова

Мудрая сова – атрибут Афины (Греция)

Сова – традиционный символ мудрости, аллегорическая фигура Ночи и Сна. В некоторых древних культурах, особенно в Китае, сова имеет зловещий символизм, знаменуя собой тьму, олицетворяет принцип ян с негативной, разрушительной окраской. Из-за бесшумности ночного полета, светящихся глаз и жутких криков сову связывают со смертью и оккультными силами. Ей также приписывают дар пророчества. В настоящее время сова в основном – символ проницательности и книжной эрудиции. «Учеными совами» называют людей умственного труда.

Сокол

Сокол – образ восходящего солнца

Сокол, как и орел, – солнечный символ победы. Олицетворение превосходства, сильного духа, света, свободы. В Древнем Египте сокол был священным символом Солнца, ему посвящались храмы, убийство сокола считалось тяжким грехом. В западной традиции сокол – символ охоты. Сокол с колпачком, надетым на голову, – символ надежды на свет и свободу. Сокол как символ агрессии встречается редко. У славян эта птица – символ силы, мужества, доброго молодца. Сокол противопоставляется вороне (как воплощению злых сил): «Где соколы летают, там ворону не пускают».

Страус

Австралийский герб

В Древнем Египте перо страуса – атрибут богини истины и правосудия Маат. Это перо, согласно легенде, клали на чашу весов при взвешивании душ умерших, чтобы определить тяжесть их грехов. Поскольку страусовые перья имеют одинаковую длину, их использовали как символ справедливости. Поверье, что страус при появлении опасности прячет голову в песок (символ ухода от проблем), вероятно, произошло от угрожающей позы страуса, когда он нагибает голову к самой земле.

В австралийском гербе страус эму является щитодержателем вместе с кенгуру.

Тигры

«Тигриный источник содержит тигра. Овладев содержимым тигриной пещеры, совершенным человеком, подчинившим себе инь и ян»

Тигр – символ энергии, силы, скорости и таланта. Образ этот одновременно и лунный, и солнечный. Он и творец, и разрушитель. Тигр, борющийся со змеей, – символ солнечной силы. В битве со львом или драконом он становится символом лунным, жестоким и свирепым. В Европе тигр – символ мощи и кровожадности. На Дальнем Востоке это символ благородства и счастья. В культурах Азии и Индии может быть символом агрессии и защиты, жизни и смерти, зла и добра.

Черепаха

Черепаха, обвитая змеей

Черепаха символизирует силу, терпение, выносливость, постоянство, медлительность, плодородие, долголетие, старческую крепость, мудрость. Во многих культурах черепаха – древнейший, окруженный особым почтением символ космического порядка. Согласно древним представлениям, черепаха, обвитая змеей, – символ сотворения мира. В Индии символизм стабильности выражается в представлении, что Земля покоится на четырех слонах, которые стоят на огромной черепахе, медленно пробирающейся через хаос. Черепаха также – символ защиты от огня и воды.

Ящерица

Тыква-горлянка с изображением ящерицы

Это юркое, быстрое животное – символ проворности, неуловимости, а также возрождения (последнее) связано со способностью ящерицы оставлять поймавшему ее свой хвост, который затем вновь отрастает. Ящерицы, поскольку они прячутся в тень во время дневной жары, считаются хранителями теней, а также хранителями сна и сновидений. Ящерица, кроме того, может символизировать подсознание и тени нашего внутреннего мира.

Ящерица считалась добрым знаком в Египте и в античном мире, где иногда ее связывали с мудростью. Она стала атрибутом аллегорических изображений Логики. Символ Меркурия, посланца богов.

Мифические существа

Воображаемые животные встречаются по всему миру в мифах и фольклоре… Они дают нам возможность четко охарактеризовать явления, обозначить которые иным способом было бы трудно.

Дж. Тресиддер

Мифические существа представляют собой, как правило, комбинацию нескольких животных, что позволяет человеческому воображению наделить их необычными возможностями, в том числе свободой от привычных принципов нашего мира. Чудовища, объединяющие в себе облик нескольких различных зверей, являются символом первоначального хаоса или ужасающих сил природы, они олицетворяют и злые силы в натуре самого человека. Сказочные животные часто изображаются охраняющими сокровища или сокровенное, тайное знание.

Ба (птица)

Птица души Ба, склонившаяся над мумией перед отлетом в иной мир (Египет)

Птица Ба – египетский символ души человека, отлетающей после его смерти в иной мир. Эта птица имеет тело сокола (по некоторым данным, – ястреба) и голову человека.

Василиск (кокатриса)

Василиск с головой петуха

Василиск – один из самых смертоносных существ средневековой символики. По одним данным, василиск внешне похож на симплициссимуса, но с головой и ногами петуха. В оккультном и магическом символизме василиска изображают в виде коронованного змея. Поскольку, как принято считать, василиск разрушает взглядом все, на что ни посмотрит, он был принят в качестве магического символа мудрости, пожирание им человека символизирует процесс инициации. Считается, что единственная возможность одолеть василиска – поставить перед ним зеркало.

Гарпии

Гарпия (XVI век)

Это полуженщины-полуптицы (женские голова и грудь, а когти – стервятника) отвратительного вида. Ассоциируются с внезапной смертью, водоворотами и штормами. Женский принцип в его разрушительном аспекте.

Гаруда

Гаруда (герб Таиланда)

Птица Жизни, Небес, Солнца, победы. Иногда идентифицируется с Фениксом. Она также средство передвижения бога Вишну, создателя и разрушителя всего («конь Вишну»). Она выходит из яйца уже взрослой и гнездится в Древе Жизни, выполняющем все желания. Голова, грудь (женские), торс, ноги до колен у гаруды человеческие, клюв, крылья, хвост, задние лапы (ниже колен) – орлиные.

Гаруда часто изображается сражающейся с нагами (змеями), персонифицирующими зло.

Гидра

Гидра (Греция, XVI век)

В греческой мифологии Гидра – дракон-змея с семью головами. Она символизирует трудности в борьбе со злом: как только одну из ее голов отрубают, тут же вырастает новая. Слепая, животная сила жизни.

Грифон

Грифон-защитник (XVI век)

Солнечное гибридное существо, соединяющее в себе голову, крылья и когти орла с телом льва, – эти животные олицетворяют власть над воздухом и землей (король птиц и король зверей), поэтому грифон – символ силы и бдительности. В Греции грифон был посвящен Аполлону, чью колесницу он вез по небу, для Афины он олицетворял мудрость, для Немезиды – возмездие. Легенды гласят, что грифоны охраняли золото Индии и скифов. Существует также легенда, что грифоны, живущие на Крайнем Севере, охраняют золото Зевса, находящееся в стране гипербореев.

Дракон

Китайский дракон Чиао, символ счастливого случая

Дракон – «крылатый змей», но только с лапами, как у орла, – объединяет в себе змею и птицу, дух и материю. Это один из универсальных и самых сложных символов. Дракон может быть солнечным и лунным, добрым и злым. Это хранитель сокровищ и тайных знаний. Символ долголетия. На Востоке дракон, как правило, – Сила Небесная, несущая благо, на Западе – разрушительная и злая сила. В России дракон – знак сатаны, дьявола. Победа над драконом означает победу света над тьмой, над собственной природой.

Единорог

Геральдическое изображение единорога

Единорог – мистическое существо, животное с телом лошади или оленя, имеющее длинный острый рог. В общем случае символизирует женский, лунный принцип, непорочность, чистоту, целомудрие. В Китае олицетворяет изобилие и долголетие. Согласно легендам, может быть пойман только целомудренной девой, одиноко сидящей в лесу: чувствуя ее чистоту, единорог может подойти к ней, положить голову ей на колени и уснуть. На основе этих легенд он стал символом чистоты, в частности женской.

Кентавр

Кентавр, охотник за знаниями

Согласно греческим мифам, кентавр – существо с телом лошади и торсом человека. Это символ низшей природы человека (похоть, насилие, пьянство), его звериной натуры, соединенной с более высокой природой человеческими достоинствами и способностью суждения. Это символ конфликта между свирепым и добрым аспектами человеческой природы.

Существует версия и о морально безупречных кентаврах (среди них – Хирон), ведущих происхождение от Кроноса. Они символизируют превосходство разума над инстинктом.

Макара

Макара

В западной традиции макара – фантастическое морское чудовище огромных размеров (рыба с головой крокодила). Символ мощи морей и океанов, рек и озер. В индуизме макара имеет вид рыбы с головой и передними ногами антилопы. Это одно из существ, на котором путешествует Вишну. Это положительный символ, связанный с радугой и дождем, с лотосом, вырастающим из воды, возвращением Солнца после зимнего солнцестояния. Макара в ряде легенд связывается с божествами, выступающими в роли охранителей мира – локапал (Варуна, Сома, Индра, Кубера…).

Медуза Горгона

Медуза Горгона (Греция) – ужас

Медуза Горгона – чудовище женского рода со змеями вместо волос, зубами вепря, золотыми крыльями и бронзовыми ногами. Это наиболее откровенное олицетворение враждебного зла, Великая Мать в ее ужасном аспекте разрушителя, воплощение ужаса. Один взгляд на нее обращал людей в камень, поэтому ее изображение впоследствии стало защитным амулетом. После того как Персей отсек Медузе Горгоне голову, из ее крови родились великан Хрисаор и крылатый конь Пегас.

Наги

Будда, сидящий на свернувшемся в кольцо наге, символизирующем знание, скрытое в инстинкте (статуя из храма Ангкора)

В индуизме это полубожества, изображаемые со змеиным туловищем и одной или несколькими человеческими головами (иногда это просто многоголовые змеи). Им, согласно легендам, принадлежит подземный мир – патала, где они стерегут несметные сокровища земли. По преданию, наги омыли Гаутаму Будду при его рождении, а также оберегали его останки после смерти. Наги – стражи сокровищ и эзотерических знаний, змеиные короли и королевы, жизненные силы вод, страстная природа. Это охранители природных сил, которыми можно управлять.

Пегас

Пегас (XVI век)

Это крылатый конь Муз, который появился из шеи Медузы, когда Персей отсек ей голову. Пегас, на котором Беллерофонт победил Химеру, олицетворяет комбинацию низшей и более высокой природы, стремящейся к высшему, и символизирует превосходство духовного над материальным. Это также символ красноречия, поэтического вдохновения и созерцания. В европейской геральдике Пегас изображается на гербах мыслителей. В наши дни часто используется как эмблема воздушного транспорта.

Русалка

Русалка (ХV век)

Женщина-рыба, способная жить в мире человеческом и мире сверхъестественном. Магический символ инициации. Русалка – морская версия Кентавра. Однако она имеет и более позитивную символику, по рассказам моряков. В славянской мифологии русалки (купалки, водяницы, лоскотухи, вилы, ундины) – вредоносные существа, особенно опасные в русальную неделю (следующую за Троицей). Часто русалок путают с такими существами древнегреческой мифологии, как нереиды, наяды, водяные нимфы. Но эти вечно юные девы не имеют, в отличие от русалок, рыбьего хвоста.

Саламандра

Саламандра в огне

Саламандра – мифическое существо в виде обычного животного, но со сверхъестественными возможностями. Саламандра обычно изображается в виде маленькой ящерицы или бескрылого дракона, иногда с фигурой, похожей на человеческую или собачью, среди языков пламени. Эти существа считаются наиболее ядовитыми из созданий, их укус смертелен. Саламандра – элемент огня и способна жить в огне, поскольку у нее очень холодное тело. Это символ борьбы с чувственными соблазнами. Поскольку саламандра считается бесполым существом, она также символизирует целомудрие.

Симплициссимус

Эмблема Гарольда

Симплициссимус – вымышленный зверь, похожий на дракона, но с двумя орлиными ногами и хвостом в форме наконечника пики, закрученного петлей. Символизирует войну, зависть, зловоние, бедствие, сатану, но также и бдительность.

Симплициссимус был личной эмблемой короля Гарольда (на французских коврах из Байе, повествующих о битве при Гастингсе и смерти Гарольда в 1066 году, симплициссимус изображен дважды).

Собака Фо

Собака Фо (Китай)

В переводе с китайского «Фо» – «большая удача». Это символ доблести и энергии, талисман для дома. Собачек Фо надо приобретать парами и располагать их бок о бок. Если поставить их (или повесить их изображения) напротив входной двери, они встречают всех входящих и защищают от бед и неудач каждого члена семьи. Помещенные в зоне богатства (юго-восточная часть), собачки Фо способствуют благополучию и процветанию дома. Расположенные в центральном секторе, они быстрее принесут в дом богатство.

Сфинкс

Египетская монета с изображением сфинкса

Сфинкс – существо с телом льва и человеческой головой (мужской или женской) или с головой барана. Самый древний и большой – Великий Сфинкс в Гизе (Египет). Это древний образ, олицетворяющий таинственную, солярную силу, символ достоинства, королевской власти мудрости, могущества, символ союза физической мощи с высочайшим интеллектом.

Египетский сфинкс не имеет ничего общего с более поздней греческой легендой о «загадке Сфинкса», которая сделала его символом тайны, хранителем древней мудрости, но Юнг считал сфинкса символом женской жадности, а также «Ужасной Матери».

Сцилла и Харибда

Сцилла (Греция) – опасность

В греческой мифологии это два чудовища Сицилийского моря, живших по обеим сторонам узкого пролива и губивших проплывающих между ними мореходов. Безжалостные воплощения сил моря. Когда-то из прекрасных нимф они были превращены в монстров с шестью головами, с тремя рядами зубов в каждой голове, с уродливыми длинными шеями. Эти ревущие, грохочущие чудища заглатывали море и выплевывали его обратно (образ разверзающейся морской пучина). Находиться между Сциллой и Харибдой означает подвергаться опасности одновременно с разных сторон.

Тритон

Тритон (Греция) – успокоитель волн

Изображается в виде старца или юноши с рыбьим хвостом вместо ног. В греческой мифологии считается морским божеством – сыном Посейдона и владычицы морей Амфитриды. Тритон трубит в рог из раковины и правит силами вод. Морская версия русалки, но мужского пола.

Феникс

Феникс (XVI век)

Феникс – наиболее известный из всех символов воскрешения, древний символ бессмертия, Солнца. Животное, имеющее обычный облик, но со сверхъестественными возможностями. Эта легендарная птица через каждые 500 лет возрождается из пепла в огне. Феникс стал эмблемой возрождения человеческого духа в вечной борьбе с трудностями материального мира. Из Древнего Египта этот символ в полной неприкосновенности перешел в славянскую мифологию (Жар-птица, Финист-Ясный Сокол).

Химера

Химера (Ватикан)

Согласно описанию Гомера, это чудовище с головой льва, телом козла и хвостом змеи. Питается огнем, была убита Беллерофонтом, который правил крылатым пегасом.

В геральдике химеру иногда изображают с головой и грудью женщины и хвостом дракона.

Химера вызывает ветры и штормы на земле и на море. Символизирует опасность, а также заблуждение (может порождать иллюзии). Кроме того, это символ несуществования.

Бесконечность. Дж.Валлис (1655).

Впервые встречается в трактате английского математика Джон Валиса "О конических сечениях".

Основание натуральных логарифмов. Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, трансцендентное число. Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614). Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.

2,71828182845904523...

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.

Отношение длины окружности к диаметру. У.Джонс (1706), Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, иррациональное число. Число "пи", старое название - лудольфово число. Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непереодической десятичной дробью:

π =3,141592653589793...

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс в книге «Новое введение в математику», а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφερεια - окружность, периферия и περιμετρος - периметр. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π 2 . Лежандр, и Эйлер предполагали, что π может быть трансцендентным, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Мнимая единица. Л.Эйлер (1777, в печати - 1794).

Известно, что уравнение х 2 =1 имеет два корня: 1 и -1 . Мнимая единица - это один из двух корней уравнения х 2 =-1 , обозначается латинской буквой i , ещё один корень: -i . Это обозначение предложил Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius (мнимый). Он же распространил все стандартные функции на комплексную область, т.е. множество чисел, представимых в виде a+ib , где a и b - действительные числа. В широкое употребление термин «комплексное число» ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Единичные векторы. У.Гамильтон (1853).

Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Единичный вектор, направленный вдоль оси Х , обозначается i , единичный вектор, направленный вдоль оси Y , обозначается j , а единичный вектор, направленный вдоль оси Z , обозначается k . Векторы i , j , k называются ортами, они имеют единичные модули. Термин "орт" ввёл английский математик, инженер Оливер Хевисайд (1892), а обозначения i , j , k - ирландский математик Уильям Гамильтон.

Целая часть числа, антье. К.Гаусс (1808).

Целой частью числа [х] числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Так, =5, [-3,6]=-4. Функцию [х] называют также "антье от х". Символ функции «целая часть» ввёл Карл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.

Угол параллельности. Н.И. Лобачевский (1835).

На плоскости Лобачевского - угол между прямой b , проходящей через точку О параллельно прямой a , не содержащей точку О , и перпендикуляром из О на a . α - длина этого перпендикуляра. По мере удаления точки О от прямой a угол параллельности убывает от 90° до 0°. Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(α )=2arctg e - α /q , где q — некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского.

Неизвестные или переменные величины. Р. Декарт (1637).

В математике переменная - это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. Понятие переменной возникло в XVII в. первоначально под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения, процессов, а не только состояний. Это понятие требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами и явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Рене Декарта. Впервые прямоугольную систему координат и обозначения х, у ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Вектор. О.Коши (1853).

С самого начала вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел у Гаусса (1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (от латинского слова vector , несущий ) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид. Сам знак вектора ввёл в использование французский математик Огюстен Луи Коши в 1853 году.

Сложение, вычитание. Я.Видман (1489).

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Яна (Йоханнеса) Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (от латинского plus «больше») или латинским словом et (союз «и»), а вычитание - буквой m (от латинского minus «менее, меньше»). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

Умножение. У.Оутред (1631), Г.Лейбниц (1698).

Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году англичанин Уильям Оутред. До него использовали чаще всего букву M , хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (французский математик Эригон, 1634), звёздочка (швейцарский математик Иоганн Ран, 1659). Позднее Готфрид Вильгельм Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x ; до него такая символика встречалась у немецкого астронома и математика Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560 -1621).

Деление. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).

Уильям Оутред в качестве знака деления использовал косую черту /. Двоеточием деление стал обозначать Готфрид Лейбниц. До них часто использовали также букву D . Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (National Committee on Mathematical Requirements ) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.

Процент. М. де ла Порт (1685).

Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского "pro centum", что означает в переводе "на сто". В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

Степени. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).

Современная запись показателя степени введена Рене Декартом в его «Геометрии » (1637), правда, только для натуральных степеней с показателями больших 2. Позднее, Исаак Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили: фламандский математик и инженер Симон Стевин, английский математик Джон Валлис и французский математик Альбер Жирар.

Арифметический корень n -й степени из действительного числа а ≥0, - неотрицательное число n -я степень которого равна а . Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: √ . Арифметический корень 3-й степени называется кубическим корнем. Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R x (от латинского Radix , корень). Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix . Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R x .u.cu (от лат. Radix universalis cubica ). Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.

Логарифм, десятичный логарифм, натуральный логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А. Принсхейм (1893).

Термин "логарифм" принадлежит шотландскому математику Джону Неперу («Описание удивительной таблицы логарифмов», 1614); он возник из сочетания от греческих слов λογος (слово, отношение) и αριθμος (число). Логарифм у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком Уильямом Гардинером (1742). По определению, логарифм числа b по основанию a (a ≠ 1, a > 0 ) - показатель степени m , в которую следует возвести число a (называемое основанием логарифма), чтобы получить b . Обозначается log a b. Итак, m = log a b , если a m = b.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Термин "натуральный логарифм" ввели Пьетро Менголи (1659) и Николас Меркатор (1668), хотя лондонский учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log , то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания - ниже строки, после символа log . Знак логарифма - результат сокращения слова "логарифм" - встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц логарифмов, например Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log - у Б. Кавальери (1632). Обозначение ln для натурального логарифма ввёл немецкий математик Альфред Прингсхейм (1893).

Синус, косинус, тангенс, котангенс. У.Оутред (сер. XVII века), И.Бернулли (XVIII в.), Л.Эйлер (1748, 1753).

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Уильям Оутред в середине XVII века. Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: tg, ctg введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций tan, cot предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Леонард Эйлер (1748, 1753), ему же мы обязаны и закреплением настоящей символики. Термин "тригонометрические функции" введён немецким математиком и физиком Георгом Симоном Клюгелем в 1770 году.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива» . Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар» , обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» . Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб» , что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus , имеющим то же значение. Термин «тангенс» (от лат. tangens - касающийся) был введен датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (1583).

Арксинус. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).

Обратные тригонометрические функции - математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк" (от лат. arc - дуга). К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Даниил Бернулли (1729, 1736). Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus , дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря французскому математику, астроному и механику Жозефу Луи Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin -1 и 1/sin, но они не получили широкого распространения.

Гиперболический синус, гиперболический косинус. В.Риккати (1757).

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил итальянец Винченцо Риккати в 1757 году в работе «Opusculorum», он же предложил их обозначения: sh , ch . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы. Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено немецким математиком, физиком и философом Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н.И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на гиперболическую.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе. Гиперболические функции выражаются через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями: sh(x)=0,5(e x -e -x ) , ch(x)=0,5(e x +e -x ). По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс как отношения гиперболических синуса и косинуса, косинуса и синуса, соответственно.

Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, в печати 1684).

Главная, линейная часть приращения функции. Если функция y=f(x) одного переменного x имеет при x=x 0 производную, и приращение Δy=f(x 0 +?x)-f(x 0 ) функции f(x) можно представить в виде Δy=f"(x 0 )Δx+R(Δx ) , где член R бесконечно мал по сравнению с Δx . Первый член dy=f"(x 0 )Δx в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x) в точке x 0 . В работах Готфрида Лейбница, Якоба и Иоганна Бернулли слово "differentia" употреблялось в смысле "приращение", его И. Бернулли обозначал через Δ. Г. Лейбниц (1675, в печати 1684) для "бесконечно малой разности" использовал обозначение d - первую букву слова "differential" , образованого им же от "differentia" .

Неопределённый интеграл. Г.Лейбниц (1675, в печати 1686).

Слово "интеграл" впервые в печати употребил Якоб Бернулли (1690). Возможно, термин образован от латинского integer - целый. По другому предположению, основой послужило латинское слово integro - приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Знак ∫ используется для обозначения интеграла в математике и представляет собой стилизованное изображение первой буквы латинского слова summa - сумма. Впервые он был использован немецким математиком основателем дифференциального и интегрального исчислений Готфридом Лейбницем в конце XVII века. Другой из основателей дифференциального и интегрального исчислений Исаак Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Неопределённый интеграл для функции y=f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Определённый интеграл. Ж.Фурье (1819-1822).

Определённый интеграл функции f(x) с нижним пределом a и верхним пределом b можно определить как разность F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , где F(х) - некоторая первообразная функции f(x) . Определённый интеграл a ∫ b f(x)dx численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции f(x) . Оформление определённого интеграла в привычном нам виде предложил французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье в начале XIX века.

Производная. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции f(x) при изменении аргумента x . Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс - интегрирование. В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Термин "производная" ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797 году, обозначения производной с помощью штриха - он же (1770, 1779), а dy/dx - Готфрид Лейбниц в 1675 году. Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691). Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик Василий Иванович Висковатов (1779-1812) .

Частная производная. А. Лежандр (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).

Для функций многих переменных определяются частные производные - производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны. Обозначения ∂f/∂ x , ∂ z/∂ y ввёл французский математик Адриен Мари Лежандр в 1786 году; f x " , z x " - Жозеф Луи Лагранж (1797, 1801); ∂ 2 z/∂ x 2 , ∂ 2 z/∂ x∂ y - частные производные второго порядка - немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби (1837).

Разность, приращение. И.Бернулли (кон. XVII в. - перв. пол. XVIII в.), Л.Эйлер (1755).

Обозначение приращения буквой Δ впервые употребил швейцарский математик Иоганн Бернулли. В общую практику использования символ "дельта" вошёл после работ Леонарда Эйлера в 1755 году.

Сумма. Л.Эйлер (1755).

Сумма - результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Для обозначения суммы n чисел a 1 , a 2 , ..., a n применяется греческая буква "сигма" Σ : a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Знак Σ для суммы ввёл Леонард Эйлер в 1755 году.

Произведение. К.Гаусс (1812).

Произведение - результат умножения. Для обозначения произведения n чисел a 1 , a 2 , ..., a n применяется греческая буква "пи" Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Например, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Знак Π для произведения ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1812 году. В русской математической литературе термин "произведение" впервые встречается у Леонтия Филипповича Магницкого в 1703 году.

Факториал. К.Крамп (1808).

Факториал числа n (обозначается n!, произносится "эн факториал") - произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1·2·3·...·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториал числа n равен числу перестановок из n элементов. Например, 3! = 6, действительно,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Все шесть и только шесть вариантов перестановок из трёх элементов.

Термин "факториал" ввёл французский математик и политический деятель Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800), обозначение n! - французский математик Кристиан Крамп (1808).

Модуль, абсолютная величина. К.Вейерштрасс (1841).

Модуль, абсолютная величина действительного числа х - неотрицательное число, определяемое следующим образом: |х| = х при х ≥ 0, и |х| = -х при х ≤ 0. Например, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Модуль комплексного числа z = a + ib - действительное число, равное √(a 2 + b 2).

Считают, что термин "модуль" предложил использовать английский математик и философ, ученик Ньютона, Роджер Котс. Готфрид Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл "модулем" и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели французские математики Огюстен Коши и Жан Робер Арган в начале XIX века. В 1903 году австрийский учёный Конрад Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

Норма. Э.Шмидт (1908).

Норма - функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или модуля числа. Знак "нормы" (от латинского слово "norma" - "правило", "образец") ввел немецкий математик Эрхард Шмидт в 1908 году.

Предел. С.Люилье (1786), У.Гамильтон (1853), многие математики (вплоть до нач. ХХ в.)

Предел - одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Исааком Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Бернард Больцано в 1816 году и Огюстен Коши в 1821 году. Символ lim (3 первые буквы от латинского слова limes - граница) появился в 1787 году у швейцарского математика Симона Антуана Жана Люилье, но его использование ещё не напоминало современное. Выражение lim в более привычном для нас оформлении первым использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1853 году. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков - например, у английского математика Годфрида Харди в 1908 году.

Дзета-функция, дзета-функция Римана . Б.Риман (1857).

Аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1 определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера:

ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,

где произведение берётся по всем простым p. Дзета-функция играет большую роль в теории чисел. Как функция вещественного переменного, дзета-функция была введена в 1737 году (опубликовано в 1744 г.) Л. Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась немецким математиком Л. Дирихле и, особенно успешно, российским математиком и механиком П.Л. Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного; им же введено название "дзета-функция" и обозначение ζ(s) в 1857 году.

Гамма-функция, Γ-функция Эйлера. А.Лежандр (1814).

Гамма-функция - математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z). Г-функция впервые введена Леонардом Эйлером в 1729 году; она определяется формулой:

Γ(z) = lim n→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Через Г-функцию выражается большое число интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Широко используется в аналитической теории чисел. Название "Гамма-функция" и обозначение Γ(z) предложено французским математиком Адриеном Мари Лежандром в 1814 году.

Бета-функция, В-функция, В-функция Эйлера. Ж.Бине (1839).

Функция двух переменных p и q, определяемая при p>0, q>0 равенством:

В(p, q) = 0 ∫ 1 х р-1 (1-х) q-1 dx.

Бета-функцию можно выразить через Γ-функция: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция, в некотором смысле, является обобщением биномиальных коэффициентов.

С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц , участвующих в сильном взаимодействии . Эта особенность подмечена итальянским физиком-теоретиком Габриэле Венециано в 1968 году. Это положило начало теории струн .

Название "бета-функция" и обозначение В(p, q) ввёл в 1839 году французский математик, механик и астроном Жак Филипп Мари Бине.

Оператор Лапласа, лапласиан. Р.Мёрфи (1833).

Линейный дифференциальный оператор Δ, который функции φ(х 1 , х 2 , ..., х n) от n переменных х 1 , х 2 , ..., х n ставит в соответствие функцию:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2 .

В частности для функции φ(х) одного переменного оператор Лапласа совпадает с оператором 2-й производной: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Уравнение Δφ = 0 обычно называют уравнением Лапласа; отсюда и произошли названия "оператор Лапласа" или "лапласиан". Обозначение Δ ввёл английский физик и математик Роберт Мёрфи в 1833 году.

Оператор Гамильтона, набла-оператор, гамильтониан. О.Хевисайд (1892).

Векторный дифференциальный оператор вида

∇ = ∂/∂x · i + ∂/∂y · j + ∂/∂z · k ,

где i , j , и k - координатные орты. Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа, а так же оператор Лапласа.

В 1853 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ ∇ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах шотландского математика и физика Питера Гатри Тэйта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот). Позднее английские учёные, в том числе Оливер Хевисайд, стали называть этот символ «набла», по названию буквы ∇ в финикийском алфавите, где она и встречается. Происхождение буквы связано с музыкальным инструментом типа арфы, ναβλα (набла) по-древнегречески означает «арфа». Оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.

Функция. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).

Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция - это "закон", " правило" по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином "функция" понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Долгое время математики задавали аргументы без скобок, например, так - φх. Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году. Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи sin x, lg x и др. Но постепенно использование скобок, f(x) , стало общим правилом. И основная заслуга в этом принадлежит Леонарду Эйлеру.

Равенство. Р.Рекорд (1557).

Знак равенства предложил уэльский врач и математик Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего, так как имитировало изображение двух параллельных отрезков. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale ). Рене Декарт в XVII веке при записи стал использовать æ (от лат. aequalis ), а современный знак равенства он использовал чтобы указать, что коэффициент может быть отрицательным. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Символ Рекорда получил распространение далеко не сразу. Распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак "= " был введён Готфридом Лейбницем только на рубеже XVII-XVIII веков, то есть более чем через 100 лет, после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда.

Примерно равно, приблизительно равно. А.Гюнтер (1882).

Знак "≈ " ввёл в использование как символ отношения "примерно равно" немецкий математик и физик Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер в 1882 году.

Больше, меньше. Т.Гарриот (1631).

Эти два знака ввёл в использование английский астроном, математик, этнограф и переводчик Томас Гарриот в 1631 году, до этого использовали слова "больше" и "меньше".

Сравнимость. К.Гаусс (1801).

Сравнение - соотношение между двумя целыми числами n и m, означающее, что разность n-m этих чисел делится на заданное целое число а, называемое модулем сравнения; пишется: n≡m(mod а) и читается "числа n и m сравнимы по модулю а". Например, 3≡11(mod 4), так как 3-11 делится на 4; числа 3 и 11 сравнимы по модулю 4. Сравнения обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Так, слагаемое, находящееся в одной части сравнения можно перенести с обратным знаком в другую часть, а сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать, умножать, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и др. Например,

3≡9+2(mod 4) и 3-2≡9(mod 4)

Одновременно верные сравнения. А из пары верных сравнений 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следует верность следующих:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

В теории чисел рассматриваются методы решения различных сравнений, т.е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих сравнениям того или иного вида. Cравнения по модулю впервые использовались немецким математиком Карлом Гауссом в его книге «Арифметические исследования» 1801 года. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.

Тождество. Б.Риман (1857).

Тождество - равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв. Равенство a+b = b+a справедливо при всех числовых значениях a и b, и поэтому является тождеством. Для записи тождеств в некоторых случаях с 1857 года применяется знак "≡ " (читается "тождественно равно"), автором которого в таком использовании, является немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Можно записать a+b ≡ b+a.

Перпендикулярность. П.Эригон (1634).

Перпендикулярность - взаимное расположение двух прямых, плоскостей или прямой и плоскости, при котором указанные фигуры составляют прямой угол. Знак ⊥ для обозначения перпендикулярности ввёл в 1634 году французский математик и астроном Пьер Эригон. Понятие перпендикулярности имеет ряд обобщений, но всем им, как правило, сопутствует знак ⊥ .

Параллельность. У.Оутред (посмертное издание 1677 года).

Параллельность - отношение между некоторыми геометрическими фигурами; например, прямыми. Определяется по-разному в зависимости от различных геометрий; например, в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. Знак параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства (только более протяжённый), но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально ||. В таком виде он появился впервые в посмертном издании работ английского математика Уильяма Оутреда в 1677 году.

Пересечение, объединение. Дж.Пеано (1888).

Пересечение множеств - это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Объединение множеств - множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Пересечением и объединением называются и операции над множествами, ставящие в соответствие некоторым множествам новые по указанным выше правилам. Обозначаются ∩ и ∪, соответственно. Например, если

А= {♠ ♣ } и В= {♣ ♦ },

То

А∩В={♣ }

А∪В={♠ ♣ ♦ } .

Содержится, содержит. Э.Шрёдер (1890).

Если А и В - два множества и в А нет элементов, не принадлежащих В, то говорят что А содержится в В. Пишут А⊂В или В⊃А (В содержит А). Например,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Символы "содержится" и "содержит" появились в 1890 году у немецкого математика логика Эрнста Шрёдера.

Принадлежность. Дж.Пеано (1895).

Если а - элемент множества А, то пишут а∈А и читают "а принадлежит А". Если а не является элементом множества А, пишут а∉А и читают "а не принадлежит А". Вначале отношения "содержится" и "принадлежит" ("является элементом") не различали, но со временем эти понятия потребовали разграничения. Знак принадлежности ∈ впервые стал использовать итальянский математик Джузеппе Пеано в 1895 году. Символ ∈ происходит от первой буквы греческого слова εστι - быть.

Квантор всеобщности, квантор существования. Г.Генцен (1935), Ч.Пирс (1885).

Квантор - общее название для логических операций, указывающих область истинности какого-либо предиката (математического высказывания). Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге немецкого логика, математика и философа Фридриха Людвига Готлоба Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃ для квантора существования (читается "существует", "найдётся"), предложенное американским философом, логиком и математиком Чарльзом Пирсом в 1885 году, и ∀ для квантора всеобщности (читается "любой", "каждый", "всякий"), образованное немецким математиком и логиком Герхардом Карлом Эрихом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов Existence (существование) и Any (любой)). Например, запись

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

читается так: "для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих неравенству |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Пустое множество. Н.Бурбаки (1939).

Множество, не содержащее ни одного элемента. Знак пустого множества был введён в книгах Николя Бурбаки в 1939 году. Бурбаки - коллективный псевдоним группы французских математиков, созданной в 1935 году. Одним из участников группы Бурбаки был Андре Вейль - автор символа Ø.

Что и требовалось доказать. Д.Кнут (1978).

В математике под доказательством понимается последовательность рассуждений, построеных на определённых правилах, показывающая, что верно некоторое утверждение. Со времён эпохи Возрождения окончание доказательства обозначалось математиками сокращением "Q.E.D.", от латинского выражения "Quod Erat Demonstrandum" - "Что и требовалось доказать". При создании системы компьютерной вёрстки ΤΕΧ в 1978 году американский профессор информатики Дональд Эдвин Кнут использовал символ: заполненный квадрат, так называемый "символ Халмоша", по имени американского математика венгерского происхождения Пола Ричарда Халмоша. Сегодня завершение доказательства как правило обозначают Символом Халмоша. В качестве альтернативы используют и другие знаки: пустой квадрат, правый треугольник, // (две косых черты), а также русскую аббревиатуру "ч.т.д.".

«Символы не являются только записью мыслей,
средством её изображения и закрепления, -
нет, они воздействуют на самую мысль,
они… направляют её, и бывает достаточно
переместить их на бумаге… для того, чтобы
безошибочно достигнуть новых истин».

Л.Карно

Математические знаки служат в первую очередь для точной (однозначно определённой) записи математических понятий и предложений. Их совокупность в реальных условиях их применения математиками составляет то, что называется, математическим языком.

Математические знаки позволяют записывать в компактной форме предложения, громоздко выраженные на обычном языке. Это облегчает их запоминание.

Прежде чем использовать в рассуждениях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. Иначе его могут не понять.
Но математики не всегда могут сказать сразу, что отражает тот или иной символ, введённый ими для какой-либо математической теории. Например, сотни лет математики оперировали отрицательными и комплексными числами, однако объективный смысл этих чисел и действие с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в начале XIX века.

1. Символизм математических кванторов

Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математическими истинами, но являясь лишь вспомогательным средством, присоединяемым к обычному языку и без него существовать, не может.

Математическое определение:

На обычном языке:

Пределом функции F (x) в некоторой точке X0 называется постоянное число А, такое что для произвольного числа Е>0 существует такое положительное d(E), что из условия |X - X 0 |

Запись в кванторах (на математическом языке)

2. Символизм математических знаков и геометрических фигур.

1) Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает невозможность указать для него границы или количественную меру. Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие, а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае одно кардинальное число (равно мощности множества) «бесконечнее» другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор. В математическом анализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа, плюс и минус бесконечность, применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Нужно отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы (как и многие другие) были введены для сокращения записи более длинных выражений. Бесконечность также неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал:
«… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела; поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна, и какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить этот отрезок на еще большее число». Заметим, что Аристотель внес большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную, и вплотную подошел с этой стороны к основам математического анализа, также указав на пять источников представления о ней:

• время,
• разделение величин,
• неиссякаемость творящей природы,
• само понятие границы, толкающее за её пределы,
• мышление, которое неостановимо.

Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ.
Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.
Современная физика вплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то есть доступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятие сингулярности, тесно связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: это точка в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёме сосредоточена с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенные доказательства существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находится ещё в стадии разработки.

2) Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
Круг - символ Солнца, Луны. Один из самых распространённых символов. А также является символом бесконечности, вечности, совершенства.

3) Квадрат (ромб) - является символом комбинации и упорядочивания четырёх различных элементов, например четыре основных стихий или четырёх времён года. Символ числа 4, равенства, простоты, прямоты, истины, справедливости, мудрости, чести. Симметрия является той идеей посредством которой человек пытается постичь гармонию и с давних времён считалась символом прекрасного. Симметрией обладают так называемые “фигурные” стихи, текст которых имеет очертание ромба.
Стихотворение - ромб.

Мы -
Среди тьмы.
Глаз отдыхает.
Сумрак ночи живой.
Сердце жадно вздыхает,
Шепот звёзд долетает порой.
И лазурные чувства теснятся толпой.
Всё забылось в блеске росистом.
Поцелуем душистым!
Поскорее блесни!
Снова шепни,
Как тогда:
«Да!»

(Э.Мартов, 1894г)

4) Прямоугольник. Из всех геометрических форм это наиболее рациональная, наиболее надёжная и правильная фигура; эмпирически это объясняется тем фактом, что всегда и везде прямоугольник был излюбленной формой. С помощью него человек приспосабливал пространство или какой-либо предмет для непосредственного использования в своём быту, например: дом, комната, стол, кровать и т.п.

5) Пентагон - правильный пятиугольник в виде звезды символ вечности, совершенства, вселенной. Пентагон - амулет здоровья, знак на дверях для того, чтобы отогнать ведьм, эмблема Тота, Меркурия, кельтского Гавайна и др., символ пяти ран Иисуса Христа, благополучия, удачи у евреев, легендарный ключ Соломона; знак высокого положения в обществе у Японцев.

6) Правильный шестиугольник, гексагон - символ изобилия, красоты, гармонии, свободы, брака, символ числа 6, образ человека (две руки, две ноги, голова и туловище).

7) Крест - символ высших сакральных ценностей. Крест моделирует духовный аспект, восхождение духа, устремление к богу, к вечности. Крест - универсальный символ единства жизни и смерти.
Конечно, с этими утверждениями можно и не соглашаться.
Однако никто не будет отрицать, что любое изображение вызывает у человека ассоциации. Но проблема в том, что одни предметы, сюжеты или графические элементы вызывают у всех людей (вернее, у многих) одинаковые ассоциации, а другие - совершенно различные.

8) Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.
Свойства треугольника как фигуры: прочность, неизменяемость.
Аксиома А1 стереометрии гласит: «Через 3 точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна!»
Чтобы проверить глубину понимания этого утверждения обычно задают задачу на засыпку: «На столе сидят три мухи, на трёх концах стола. В определённый момент они разлетаются по трём взаимно - перпендикулярным направлениям с одинаковой скоростью. Когда они снова окажутся в одной плоскости?». Ответом служит тот факт, что три точки всегда, в любой момент, определяют единственную плоскость. И именно 3 точки определяют треугольник, поэтому эта фигура в геометрии считается самой устойчивой и прочной.
Треугольник обычно относят к острой, «наступательной» фигуре, связанной с мужским началом. Равносторонний треугольник - мужской и солнечный знак, представляющий божество, огонь, жизнь, сердце, гору и восхождение, благополучие, гармонию и королевскую власть. Перевёрнутый треугольник - женский и лунный символ, олицетворяет воду, плодовитость, дождь, божественную милость.

9) Шестиконечная Звезда (Звезда Давида) - состоит из двух наложенных один на другой равносторонних треугольников. Одна из версий происхождения знака связывает его форму с формой цветка Белой лилии, имеющего шесть лепестков. Цветок традиционно располагался под храмовым светильником, таким образом, что священник зажигал огонь, как бы, в центре Маген Давида. В каббале два треугольника символизируют свойственную человеку дуальность: добро против зла, духовное против физического и так далее. Треугольник, направленный остриём вверх, символизирует наши добрые дела, которые поднимаются на небеса и вызывают поток благодати, нисходящий обратно в этот мир (что символизирует треугольник, направленный вниз). Иногда Звезду Давида называют Звездой Творца и связывают каждый из её шести концов с одним из дней недели, а центр - с субботой.
Государственные символы США также содержат Шестиконечную Звезду в разных видах, в частности есть она на Большой печати США и на денежных знаках. Звезда Давида изображена на гербах немецких городов Шер и Гербштедт, а так же украинских Тернополя и Конотопа. Три шестиконечные звезды изображены на флаге Бурунди и олицетворяют национальный девиз: «Единство. Работа. Прогресс».
В христианстве шестиконечная звезда - символ Христа, а именно соединения во Христе божественной и человеческой природы. Именно поэтому этот знак вписан в Православный Крест.

10) Пятиконечная Звезда - Основной отличительной эмблемой большевиков является красная пятиконечная звезда, официально установленная весной 1918 года. Первоначально большевистская пропаганда назвала её “ Марсовой звездой” (якобы принадлежащей античному богу войны - марсу), а затем стала заявлять, что “ Пять лучей звезды, означает союз трудящихся всех пяти континентов в борьбе против капитализма”. В действительности же пятиконечная звезда не имеет никакого отношения ни к воинствующему божеству Марсу, ни к международному пролетариату, это - древний оккультный знак (очевидно ближневосточного происхождения), называющийся “пентаграммой” или “Звездой Соломона”.
Правительству”, находящемуся под полным контролем масонства.
Весьма часто сатанисты рисуют пентаграмму двумя концами вверх, чтобы туда было легко вписать дьявольскую голову “Пентаграмма Бафомета”. Портрет “Пламенного революционера” помещён внутри “Пентаграммы Бафомета”, являющейся центральной частью композиции проектируемого в 1932 году особого чекистского ордена “ Феликса Дзержинского” (далее проект был отклонён Сталиным, глубоко ненавидящим “Железного Феликса”).

Отметим, что зачастую пентаграмма размещалась большевиками на красноармейском обмундировании, в военной технике, различных знаках и всевозможных атрибутах наглядной агитации чисто по-сатанински: двумя “рогами” вверх.
Марксистские планы “всемирной пролетарской революции” имели явно масонское происхождение, ряд виднейших марксистов состоял в масонстве. К ним относился Л.Троцкий, именно он и предложил сделать масонскую пентаграмму опознавательной эмблемой большевизма.
Интернациональные масонские ложи тайно оказывали большевикам всестороннюю поддержку, особенно финансовую.

3. Масонские знаки

Масоны

Девиз: «Свобода. Равенство. Братство».

Общественное движение свободных людей, которые на основе свободного выбора позволяют стать лучше, стать ближе к богу следственно, они признаны улучшить мир.
Масоны - соратники Творца, сподвижники общественного прогресса, против инерции, косности и невежества. Выдающиеся представители масонства - Карамзин Николай Михайлович, Суворов Александр Васильевич, Кутузов Михаил Илларионович, Пушкин Александр Сергеевич, Геббельс Иозеф.

Знаки

Лучезарное око (дельта) - знак древний, религиозный. Он говорит о том, что Бог надзирает над творениями своими. Изображением этого знака масоны спрашивали у Бога благословения на какие-либо грандиозные действия, на труды свои. Лучезарное око расположено на фронтоне Казанского Собора в Санкт-Петербурге.

Сочетание циркуля и угольника в масонском знаке.

Для непосвящённого - это орудие труда (каменщика), а для посвящённых - это способы познания мира и соотношения божественной премудрости и человеческого разума.
Угольник, как правило, снизу - это человеческое познание мира. С точки зрения масонства, человек приходит в мир, что познать божественный замысел. А для познания необходим инструментарий. Самая эффективная наука в познание мира - математика.
Угольник - древнейший математический инструмент, известный с незапамятных времён. Градуировка угольника - уже большой шаг вперёд в математическом инструментарии познания. Человек познаёт мир с помощью наук математика из них первейшая, но не единственная.
Однако угольник деревянный, и он вмещает то, что может вместить. Его нельзя раздвинуть. Если ты попытаешься его раздвинуть, чтобы он вмещал больше, - ты поломаешь его.
Так люди, пытающиеся познать всю бесконечность божественного замысла, либо умирают, либо сходят с ума. «Знай, свои границы!» - вот, что сообщает Миру этот знак. Будь ты даже Эйнштейн, Ньютон, Сахаров - величайшие умы человечества! - понимай, что ты ограничен временем, в котором ты рождён; в познании мира, языком, объёмом мозга, самыми разными человеческими ограничениями, жизнью твоего тела. Поэтому - да, познавай, но понимай, что ты никогда до конца не познаешь!
А циркуль? Циркуль есть божественная премудрость. Циркулем можно описать круг, а если раздвинуть ему ножки, то будет прямая. А в символических системах круг и прямая - две противоположности. Прямая обозначает человека, его начало и конец (как тире между двумя датами - рождения и смерти). Круг - символ божества, поскольку является совершенной фигурой. Они друг другу противостоят - божественная и человеческая фигуры. Человек не совершенен. Бог - совершенен во всём.

Для божественной премудрости нет невозможного, она может принять и вид человеческий (-) и вид божественный (0), всё может в себя вместить. Таким образом, человеческий разум постигает божественную премудрость, объемлет ее. В философии это утверждение является постулатом об абсолютной и относительной истине.
Люди всегда познают истину, но всегда относительную истину. А абсолютная истина ведома только Богу.
Познавай всё больше, осознавая, что не сможешь познать истину до конца - какие глубины мы находим в обыкновенном циркуле с угольником! Кто бы мог подумать!
Вот в чём прелесть и очарование масонской символики, в её огромной интеллектуальной глубине.
Начиная с эпохи Средневековья циркуль, как инструмент для вычерчивания безупречных кругов стал символом геометрии, космического порядка и планомерных действий. В это время часто рисовали Бога Саваофа в образе творца и архитектора Вселенной с циркулем в руках (Уильям Блейк ‘‘Великий Архитектор’’, 1794 г).

Шестиугольная Звезда (Вифлеема)

Буква G - обозначение бога (нем. - Got), великого геометра Вселенной.
Шестиугольная Звезда, означала Единство и Борьбу Противоположностей, борьбу Мужчины и Женщины, Добра и Зла, Света и Тьмы. Не может одно существовать без другого. Напряжение, которое возникает между этими противоположностями, создаёт мир в том виде, в каком мы его знаем.
Треугольник вверх означает - «Человек стремится к Богу». Треугольник вниз - «Божество нисходит к Человеку». В их соединении и существует наш мир, который и есть соединение Человеческого и Божественного. Буква G здесь означает, что Бог живёт в нашем мире. Он реально присутствует во всём, им сотворённом.

Заключение

Математические знаки служат в первую очередь для точной записи математических понятий и предложений. Их совокупность составляет то, что называется математическим языком.
Решающей силой развития математической символики является не “свободная воля” математиков, а требования практики, математических исследований. Именно реальные математические исследования помогают выяснить, какая система знаков наилучшим образом отображает структуру количественных и качественных отношений, в силу чего могут быть эффективным орудием их дальнейшего применения в символах и эмблемах.

Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми Знаки математические были знаки для изображения чисел - цифры , возникновение которых, по-видимому, предшествовало письменности. Наиболее древние системы нумерации - вавилонская и египетская - появились ещё за 3 1 / 2 тысячелетия до н. э.

Первые Знаки математические для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Величины (площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин - в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами - начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до нашей эры) последний способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике буквенного исчисления создано не было.

Начатки буквенного изображения и исчисления возникают в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы. Диофант (вероятно, 3 в.) записывал неизвестную (х ) и её степени следующими знаками:

[ - от греческого термина dunamiV (dynamis - сила), обозначавшего квадрат неизвестной, - от греческого cuboV (k_ybos) - куб]. Справа от неизвестной или её степеней Диофант писал коэффициенты, например 3х 5 изображалось

(где = 3). При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для вычитания употреблял специальный знак ; равенство Диофант обозначал буквой i [от греческого isoV (isos) - равный]. Например, уравнение

(x 3 + 8x ) - (5x 2 + 1) = х

У Диофанта записалось бы так:

(здесь

означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного).

Несколько веков спустя индийцы ввели различные Знаки математические для нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, уравнение

3х 2 + 10x - 8 = x 2 + 1

В записи Брахмагупты (7 в.) имело бы вид:

Йа ва 3 йа 10 ру 8

Йа ва 1 йа 0 ру 1

(йа - от йават - тават - неизвестное, ва - от варга - квадратное число, ру - от рупа - монета рупия - свободный член, точка над числом означает вычитаемое число).

Создание современной алгебраической символики относится к 14-17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются Знаки математические для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в конце 15 и. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания

(от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и -. Ещё в 17 в. можно насчитать около десятка Знаки математические для действия умножения.

Различны были и Знаки математические неизвестной и её степеней. В 16 - начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, например се (от census - латинский термин, служивший переводом греческого dunamiV, Q (от quadratum), , A (2), , Aii, aa , a 2 и др. Так, уравнение

x 3 + 5x = 12

имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:

у немецкого математика М. Штифеля (1544):

у итальянского математика Р. Бомбелли (1572):

французского математика Ф. Виета (1591):

у английского математика Т. Гарриота (1631):

В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли , 1550), круглые (Н. Тарталья , 1556), фигурные (Ф. Виет , 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.

Значительным шагом вперёд в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) Знаки математические для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,... Например, запись Виета

В наших символах выглядит так:

x 3 + 3bx = d.

Виет явился творцом алгебраических формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, z, а произвольные данные величины - начальными буквами а, b, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.

Дальнейшее развитие Знаки математические было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.

Даты возникновения некоторых математических знаков

и для бесконечно малого приращения o . Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности ¥.

Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц . Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне Знаки математические дифференциалов

dx, d 2 x, d 3 x

и интеграла

Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру . Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x ) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), p [вероятно, от греческого perijereia (periphereia) - окружность, периферия, 1736], мнимой единицы

(от французского imaginaire - мнимый, 1777, опубликовано в 1794).

В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс , 1841), вектора (О. Коши , 1853), определителя

(А. Кэли , 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.

Наряду с указанным процессом стандартизации Знаки математические в современной литературе весьма часто можно встретить Знаки математические , используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.

С точки зрения математической логики, среди Знаки математические можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определённое содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём основным группам Знаки математические примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.

Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки «неременных», или «неизвестных», объектов, операций и отношений.

Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):

A 1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и p; мнимой единицы i.

Б 1) Знаки арифметических действий +, -, ·, ´,:; извлечения корня , дифференцирования

знаки суммы (объединения) È и произведения (пересечения) Ç множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.

1) Знаки равенства и неравенства =, >, <, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.

Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые каким-либо заранее оговорённым условиям. Например, при записи тождества (a + b )(a - b ) = a 2 - b 2 буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у = х 2 буквы х и у - произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения

х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и -1).

С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пустой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

A 2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.

Б 2) Обозначения f, , j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:

Обозначения для «переменных отношений» менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики ) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.

Лит.: Cajori ., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Статья про слово "Знаки математические " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 40088 раз